Class-12th Mathematics गणित Notes, Class, MCQs, Short & Long Questions

Part A : Calculus (कलन)

1. Relations and Functions – संबंध एवं फलन

1. Relation (संबंध)

• Definition – परिभाषा
• Types of Relations – संबंध के प्रकार
  1. Reflexive – आत्मपरावर्ती
  2. Symmetric – सममित
  3. Transitive – सरनीय
  4. Equivalence Relation – समानता संबंध
  5. Partial Order Relation – आंशिक क्रम संबंध
• Representation of Relation – संबंध का निरूपण
  1. Set Method – समुच्चय पद्धति
  2. Graphical Method – ग्राफ़ पद्धति
  3. Matrix Method – मैट्रिक्स पद्धति

2. Function (फलन)

• Definition – परिभाषा
• Domain – परिभाषित क्षेत्र
• Co-domain – को-डोमेन
• Range – प्रतिसरण / श्रेणी
• Types of Functions – फलनों के प्रकार
  1. One-one / Injective – एक-एक
  2. Onto / Surjective – सर्व
  3. One-one onto / Bijective – एक-एक सर्व
  4. Constant Function – स्थिर फलन
  5. Identity Function – पहचान फलन
  6. Polynomial Function – बहुपद फलन
  7. Rational Function – अनुपात फलन
  8. Even Function – सम फलन
  9. Odd Function – विषम फलन
• Composition of Functions – फलनों का संयोग
• Inverse Function – प्रतिफलन
• Graph of Function – फलन का ग्राफ़
• Application of Functions – फलनों के अनुप्रयोग
  1. Real-life Problems – वास्तविक जीवन में समस्या समाधान
  2. Algebraic Expressions – बीजगणितीय निरूपण

3. Binary Operations (द्विआधारी क्रिया)

• Definition – परिभाषा
• Examples – उदाहरण
• Properties – गुण / विशेषताएँ
  1. Commutative – परिवर्तनीय
  2. Associative – सहसंयोज्य
  3. Identity Element – पहचान तत्त्व
  4. Inverse Element – प्रतिलोम तत्त्व
• Examples of Common Binary Operations – सामान्य द्विआधारी क्रियाओं के उदाहरण
  1. Addition (+) – योग
  2. Multiplication (×) – गुणा
  3. Subtraction (−) – घटाव
  4. Division (÷) – भाग

4. Graphs of Functions (फलनों का ग्राफ़)

• Plotting on Cartesian Plane – कार्तीय तल पर निरूपण
• Understanding Domain & Range via Graph – ग्राफ़ से क्षेत्र और श्रेणी का निर्धारण
• Graph of Special Functions – विशेष फलनों का ग्राफ़
  1. Linear Function – रैखिक फलन
  2. Quadratic Function – द्विघात फलन
  3. Polynomial Function – बहुपद फलन
  4. Rational Function – अनुपात फलन

5. Relations in Set Theory (समुच्चय सिद्धांत में संबंध)

• Cartesian Product – कार्तीय गुणनफल
• Representation of Relations – संबंध का निरूपण
  1. Roster Method – सूची पद्धति
  2. Matrix Representation – मैट्रिक्स पद्धति
  3. Graphical Representation – ग्राफ़ पद्धति
• Types of Relations – संबंध के प्रकार (Set Theory Context)
  1. Reflexive – आत्मपरावर्ती
  2. Symmetric – सममित
  3. Transitive – सरनीय
  4. Equivalence Relation – समानता संबंध

6. Miscellaneous Concepts (अन्य महत्वपूर्ण अवधारणाएँ)

• Empty Relation – रिक्त संबंध
• Universal Relation – सार्वभौमिक संबंध
• Domain & Range Restrictions – क्षेत्र और श्रेणी में प्रतिबंध
• Applications of Functions – फलनों के अनुप्रयोग
  1. Algebraic Problems – बीजगणितीय समस्याएँ
  2. Real-life Situations – वास्तविक जीवन में उपयोग
• Mapping Diagram – मानचित्रण आरेख
• Arrow Diagram – तीर आरेख

2. Inverse Trigonometric Functions – प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

• Introduction – परिचय
• Trigonometric Functions Review – त्रिकोणमितीय फलनों की पुनरावृत्ति
• Meaning of Inverse Trigonometric Functions – प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अर्थ
• Inverse of Sine Function (sin⁻¹x) – साइन का प्रतिलोम
• Inverse of Cosine Function (cos⁻¹x) – कोसाइन का प्रतिलोम
• Inverse of Tangent Function (tan⁻¹x) – टैन्जेंट का प्रतिलोम
• Domain of Inverse Trigonometric Functions – परिभाषा क्षेत्र
• Range of Inverse Trigonometric Functions – मान क्षेत्र
• Principal Value Branch – मुख्य मान शाखा
• Properties of Inverse Trigonometric Functions – गुणधर्म
• Graphs of Inverse Trigonometric Functions – ग्राफ
• Basic Identities – मूल सर्वसमिकाएँ
• Simplification Using Inverse Trigonometric Functions – सरलीकरण
• Problems Based on Inverse Trigonometric Functions – प्रश्न अभ्यास

3. Matrices – आव्यूह

• Matrix – आव्यूह
• Order of a Matrix – आव्यूह का क्रम
• Types of Matrices – आव्यूह के प्रकार
  1. Row Matrix – पंक्तिगत आव्यूह
  2. Column Matrix – स्तंभ आव्यूह
  3. Square Matrix – वर्ग आव्यूह
  4. Rectangular Matrix – आयताकार आव्यूह
  5. Zero Matrix – शून्य आव्यूह
  6. Diagonal Matrix – विकर्ण आव्यूह
  7. Scalar Matrix – मात्रात्मक आव्यूह
  8. Identity Matrix – पहचान आव्यूह
  9. Symmetric Matrix – सममित आव्यूह
  10. Skew-Symmetric Matrix – विषम सममित आव्यूह
• Equality of Matrices – आव्यूह की समानता
• Addition of Matrices – आव्यूह का जोड़
• Subtraction of Matrices – आव्यूह का घटाव
• Multiplication of Matrices – आव्यूह का गुणन

1. 1. Scalar Multiplication – मात्रात्मक गुणन
   2. Matrix Multiplication – आव्यूह गुणन

• Transpose of a Matrix – आव्यूह का प्रतिलिपि
• Determinant of a Matrix – आव्यूह का निर्धारक
• Inverse of a Matrix – आव्यूह का व्युत्क्रम
• Properties of Matrices – आव्यूह के गुण
• Minors and Cofactors – लघ Determinant और सहगुणक
• Adjoint of a Matrix – आव्यूह का सह-आव्यूह (Adjoint)
• Cramer’s Rule – क्रेमर का नियम
• Consistency of System of Equations – समीकरण प्रणाली की संगतता
• Rank of a Matrix – आव्यूह का रैंक
• Singular and Non-Singular Matrices – एकल और गैर-एकल आव्यूह
• Applications of Matrices – आव्यूह का प्रयोग

1. 1. Solving Linear Equations – रैखिक समीकरण हल करना
   2. Transformation in Geometry – ज्यामिति में रूपांतरण

4. Determinants – सारणिक

• Introduction – परिचय
• Definition of Determinant – सारणिक की परिभाषा
• Order of Determinant – सारणिक का क्रम
• Determinant of 2×2 Matrix – 2×2 सारणिक का मान
• Determinant of 3×3 Matrix – 3×3 सारणिक का मान
• Properties of Determinants – सारणिक के गुण

1. 1. Swapping Two Rows or Columns – दो पंक्तियों या स्तंभों का अदला-बदली
   2. Multiplying a Row or Column by a Scalar – पंक्ति/स्तंभ को गुणा करना
   3. Determinant of Transpose – प्रतिरूप सारणिक का मान
   4. Determinant of Triangular Matrix – त्रिभुजाकार सारणिक का मान

• Expansion of Determinant – सारणिक का विस्तार

1. 1. By Row – पंक्ति द्वारा
   2. By Column – स्तंभ द्वारा

• Cofactor – सहगुणक
• Minor – लघु सारणिक
• Applications of Determinants – सारणिक का प्रयोग

1. 1. Solving Linear Equations – रैखिक समीकरण हल करना
   2. Area of Triangle – त्रिभुज का क्षेत्रफल

• Zero Determinant – शून्य सारणिक
• Effect of Adding a Multiple of One Row to Another – एक पंक्ति के गुणांक को दूसरी पंक्ति में जोड़ने का प्रभाव
• Determinant of a Product of Matrices – गुणा सारणिक का मान
• Adjoint of a Matrix – सहगुणक मैट्रिक्स
• Inverse of a Matrix Using Determinant – सारणिक का उपयोग कर मैट्रिक्स का प्रतिलोम
• Cramer’s Rule – क्रैमर का नियम
• Applications in Geometry – ज्यामिति में उपयोग

1. 1. Area of Triangle Using Determinant – सारणिक से त्रिभुज का क्षेत्रफल
   2. Collinearity of Points – बिंदुओं का समरेखता

• Special Types of Determinants – विशेष प्रकार के सारणिक

1. 1. Vandermonde Determinant – वांडरमोंडे सारणिक
   2. Diagonal and Triangular Determinants – विकर्ण और त्रिभुजाकार सारणिक

5. Continuity and Differentiability – सांतत्य एवं अवकलनीयता

• Continuity of a Function – फलन का सांतत्य

1. 1. Continuity at a Point – बिंदु पर सांतत्य
   2. Continuity in an Interval – अवकल में सांतत्य
   3. Types of Discontinuity – असंतति के प्रकार
      • Removable Discontinuity – हटाने योग्य असंतति
      • Jump Discontinuity – कूद असंतति
      • Infinite Discontinuity – अनंत असंतति

• Differentiability of a Function – फलन की अवकलनीयता

1. 1. Derivative at a Point – बिंदु पर अवकल
   2. Differentiability and Continuity – अवकलनीयता और सांतत्य का संबंध
   3. Derivative of Standard Functions – मानक फलनों के अवकल
      • Power Function – घात फलन
      • Exponential Function – घातांक फलन
      • Logarithmic Function – लघुगणकीय फलन
      • Trigonometric Functions – त्रिकोणमितीय फलन

• Rules of Differentiation – अवकलन के नियम

1. 1. Sum Rule – योग नियम
   2. Product Rule – गुणन नियम
   3. Quotient Rule – भाग नियम
   4. Chain Rule – शृंखला नियम

• Higher Order Derivatives – उच्च क्रम के अवकल

1. 1. Second Order Derivative – द्वितीयक अवकल
   2. Third Order Derivative – तृतीयक अवकल
   3. n-th Order Derivative – n-तृतीयक अवकल

• Applications of Derivatives – अवकल का अनुप्रयोग
  1. Tangents and Normals – स्पर्श रेखा एवं लंब रेखा
  2. Maxima and Minima – अधिकतम एवं न्यूनतम मान
  3. Increasing and Decreasing Functions – वृद्धिशील और अवरुद्ध फलन
  4. Rate of Change – परिवर्तन की दर
  5. Approximations – समीकरणीय अनुमान
• Mean Value Theorems – माध्य मान प्रमेय

1. 1. Rolle’s Theorem – रोल का प्रमेय
   2. Lagrange’s Mean Value Theorem – लैग्रांज का माध्य मान प्रमेय
   3. Cauchy’s Mean Value Theorem – कोशी का माध्य मान प्रमेय

• Differentiability of Parametric Functions – परिमित फलनों की अवकलनीयता

1. 1. Derivative with respect to Parameter – परिमाण के सापेक्ष अवकल

• Implicit Differentiation – आभासी अवकलन

1. 1. Finding dy/dx when y is not explicit – जब y प्रत्यक्ष नहीं है

• Differentiation of Inverse Functions – व्युत्क्रम फलनों का अवकलन

1. 1. Derivative of inverse function – व्युत्क्रम फलन का अवकल

• Logarithmic Differentiation – लघुगणकीय अवकलन

6. Applications of Derivatives – अवकलज के अनुप्रयोग

• Rate of Change of Quantities – मात्राओं का परिवर्तन दर

• • • Average Rate of Change – औसत परिवर्तन दर
    • Instantaneous Rate of Change – तात्कालिक परिवर्तन दर

• Increasing and Decreasing Functions – बढ़ती और घटती फलन

• • • Test for Increasing Function – बढ़ते फलन का परीक्षण
    • Test for Decreasing Function – घटते फलन का परीक्षण

• Maxima and Minima – अधिकतम और न्यूनतम मान

• • • Local Maximum and Minimum – स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम
    • Global Maximum and Minimum – समष्टि अधिकतम और न्यूनतम
    • Second Derivative Test – द्वितीय अवकलज परीक्षण

• Tangents and Normals – स्पर्शरेखा और लम्बरेखा

• • • Equation of Tangent – स्पर्शरेखा का समीकरण
    • Equation of Normal – लम्बरेखा का समीकरण
    • Angle between Two Curves – दो वक्रों के बीच कोण

• Point of Inflection – वक्रदर्शी बिंदु

• • • Definition and Conditions – परिभाषा और शर्तें
    • Determining Inflection Points – वक्रदर्शी बिंदु ज्ञात करना

• Concavity and Convexity – अवतलता और उत्तलता

• • • Concave Up / Convex Function – अवतल / उत्तल फलन
    • Concave Down / Concave Function – उत्तल / अवतल फलन

• Optimization Problems – अनुकूलन समस्याएँ

• • • Profit and Cost Maximization – लाभ और लागत अधिकतमकरण
    • Area and Volume Optimization – क्षेत्रफल और आयतन अनुकूलन
    • Other Practical Applications – अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग

• Motion Along a Line – रेखा पर गति

• • • Velocity – वेग
    • Acceleration – त्वरण
    • Position Function – स्थिति फलन

• Approximation (Linearization) – निकटतम अनुमान / रैखिककरण

• • • Linear Approximation Formula – रैखिक अनुमान सूत्र
    • Error Estimation – त्रुटि का अनुमान

• Curvature of a Curve – वक्रता

• • • Definition of Curvature – वक्रता की परिभाषा
    • Formula for Curvature – वक्रता का सूत्र
    • Radius of Curvature – वक्रता का त्रिज्या

• Derivative as a Tool in Economics – अर्थशास्त्र में अवकलज

• • • Marginal Cost – सीमा लागत
    • Marginal Revenue – सीमा राजस्व
    • Marginal Profit – सीमा लाभ

• Derivative in Physics Problems – भौतिकी में अवकलज का उपयोग

• • • Motion along a Path – पथ पर गति
    • Rate of Change in Physical Quantities – भौतिक मात्राओं का परिवर्तन दर

• Related Rates Problems – संबंधित दरों की समस्याएँ

• • • Changing Geometrical Quantities – ज्यामितीय मात्राओं का परिवर्तन
    • Real-life Related Rates Problems – वास्तविक जीवन की संबंधित दरें

• Applications in Geometry – ज्यामिति में अनुप्रयोग

• • • Tangents and Normals to Curves – वक्रों पर स्पर्शरेखा और लम्बरेखा
    • Area and Volume Problems – क्षेत्रफल और आयतन समस्याएँ

7. Integrals – समाकल

• Introduction to Integrals – समाकल का परिचय
  • • Concept of Integration – समाकल की अवधारणा
    • Relation between Differentiation and Integration – अवकलन और समाकल का संबंध
• Indefinite Integral – अनिश्चित समाकल
  • • Definition of Indefinite Integral – अनिश्चित समाकल की परिभाषा
    • Basic Formulae – मूल सूत्र
    • Sum/Difference Rule – योग/अंतर नियम
    • Constant Multiple Rule – स्थिर गुणक नियम
• Definite Integral – निश्चित समाकल
  • • Definition of Definite Integral – निश्चित समाकल की परिभाषा
    • Properties of Definite Integrals – निश्चित समाकल के गुण
    • Fundamental Theorem of Calculus – कलन का मूल सिद्धांत
• Techniques of Integration – समाकल की तकनीक
  • • Integration by Substitution – प्रतिस्थापन विधि
    • Integration by Parts – भाग विधि
    • Integration of Rational Functions – परिमेय फलनों का समाकल
    • Integration of Trigonometric Functions – त्रिकोणमितीय फलनों का समाकल
    • Integration of Exponential and Logarithmic Functions – घातांक एवं लघुगणकीय फलनों का समाकल
    • Integration using Partial Fractions – अंश भाजकों द्वारा समाकल
    • Reduction Formulae – अपसरण सूत्र
• Special Integrals – विशेष समाकल
  • • ∫sinⁿx dx, ∫cosⁿx dx
    • ∫secx dx, ∫cosecx dx
    • ∫tanx dx, ∫cotx dx
    • ∫(ax + b)ⁿ dx and other algebraic forms – बीजगणितीय रूपों का समाकल
• Definite Integral Applications – निश्चित समाकल के अनुप्रयोग
  • • Area under a curve – वक्र के नीचे क्षेत्रफल
    • Area between two curves – दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल
    • Volume of solids of revolution – घूर्णन घन का आयतन
    • Mean value of a function – फलन का माध्य मान
• Improper Integrals – अपूर्ण समाकल
  • • Integrals with infinite limits – अनंत सीमाओं वाला समाकल
    • Integrals with discontinuous functions – असतत फलनों के लिए समाकल
• Numerical Integration – सांख्यिकीय समाकल
  • • Trapezoidal Rule – ट्रेपेज़ियम नियम
    • Simpson’s 1/3 Rule – सिम्पसन 1/3 नियम
    • Simpson’s 3/8 Rule – सिम्पसन 3/8 नियम
• Differential Equations (Integration Method) – अवकल समीकरण (समाकल विधि)
  • • Solving first-order differential equations – प्रथम श्रेणी अवकल समीकरण का हल
    • Applications of integration in differential equations – अवकल समीकरण में समाकल का अनुप्रयोग
• 10. Miscellaneous Problems – विविध समस्याएँ
  • • Problems combining multiple techniques – विभिन्न तकनीकों वाला प्रश्न
    • Word problems involving area, volume, and physics applications – क्षेत्रफल, आयतन और भौतिकी में अनुप्रयोग

8. Applications of Integrals – समाकल के अनुप्रयोग

• Area under a Curve – वक्र के नीचे क्षेत्रफल
  • Area bounded by curve and x-axis – वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल
  • Area bounded by curve and y-axis – वक्र और y-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल
  • Area between curve and a line – वक्र और रेखा के बीच क्षेत्रफल
• Area between Two Curves – दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल
  • Area between two curves w.r.t. x-axis – x के सापेक्ष
  • Area between two curves w.r.t. y-axis – y के सापेक्ष
  • Points of intersection of curves – वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु
• Area in Polar Coordinates – ध्रुवीय निर्देशांक में क्षेत्रफल
  • Polar equation of curve – वक्र का ध्रुवीय समीकरण
  • Area bounded by polar curve – ध्रुवीय वक्र से घिरा क्षेत्रफल
• Volume of Solids of Revolution – घूर्णन ठोस का आयतन
  • Volume about x-axis – x-अक्ष के बारे में
  • Volume about y-axis – y-अक्ष के बारे में
  • Volume about any line – किसी भी रेखा के बारे में
• Volume by Slicing Method – कटाई विधि
  • Disc method – चक्र विधि
  • Washer method – वलय विधि
• Volume by Cylindrical Shells – बेलनाकार खोल विधि
  • Shells parallel to axis – अक्ष के समानांतर खोल
  • Comparison with disc method – चक्र विधि से तुलना
• Arc Length of a Curve – वक्र की लंबाई
  • Arc length w.r.t. x-axis – x के सापेक्ष
  • Arc length w.r.t. y-axis – y के सापेक्ष
• Surface Area of Solids of Revolution – पृष्ठीय क्षेत्रफल
  • Surface area about x-axis – x-अक्ष के बारे में
  • Surface area about y-axis – y-अक्ष के बारे में
• Work Done by a Variable Force – परिवर्तनीय बल द्वारा कार्य
  • Constant vs variable force – स्थिर व परिवर्तनीय बल
  • Work done using integration – समाकल द्वारा कार्य
• Center of Mass / Centroid – भारकेंद्र / केंद्रक
  • Centroid of plane lamina – समतली पट्टी का केंद्रक
  • Centroid of region bounded by curve – वक्र से घिरे क्षेत्र का केंद्रक
• Moment of a Plane Lamina – समतली पट्टी का आघूर्ण
  • Moment about x-axis – x-अक्ष के सापेक्ष
  • Moment about y-axis – y-अक्ष के सापेक्ष
• Moment of Inertia – जड़त्व आघूर्ण
  • M.I. about x-axis – x-अक्ष के सापेक्ष
  • M.I. about y-axis – y-अक्ष के सापेक्ष
• Pressure and Force on a Surface – सतह पर दबाव व बल
  • Pressure in liquids – द्रवों में दबाव
  • Force on vertical surface – ऊर्ध्व सतह पर बल
• Mean Value of a Function – फलन का माध्य मान
  • Mean value theorem for integrals – समाकल का माध्य मान प्रमेय
  • Applications of mean value – माध्य मान के अनुप्रयोग
• Probability Density Function – प्रायिकता घनत्व फलन
  • Continuous random variable – सतत यादृच्छिक चर
  • Mean using integrals – समाकल से माध्य
• Applications in Economics – अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग
  • Consumer surplus – उपभोक्ता अधिशेष
  • Producer surplus – उत्पादक अधिशेष
• Applications in Physics – भौतिकी में अनुप्रयोग
  • Motion under variable acceleration – परिवर्तनीय त्वरण में गति
  • Work and energy – कार्य और ऊर्जा
• Applications in Biology – जीवविज्ञान में अनुप्रयोग
  • Growth and decay models – वृद्धि व क्षय मॉडल
  • Population models – जनसंख्या मॉडल

9. Differential Equations – अवकल समीकरण

Part B : Algebra (बीजगणित)

10. Vector Algebra – सदिश बीजगणित

• Introduction – परिचय
• Vectors and Scalars – सदिश एवं अदिश
  • Scalar Quantity – अदिश राशि
  • Vector Quantity – सदिश राशि
  • Representation of a Vector – सदिश का निरूपण
• Types of Vectors – सदिशों के प्रकार
  • Zero Vector – शून्य सदिश
  • Unit Vector – एकक सदिश
  • Position Vector – स्थिति सदिश
  • Equal Vectors – समान सदिश
  • Negative of a Vector – सदिश का ऋणात्मक
  • Parallel Vectors – समांतर सदिश
  • Collinear Vectors – सहरेखीय सदिश
• Magnitude of a Vector – सदिश का परिमाण
• Direction Cosines and Direction Ratios – दिशा कोसाइन एवं दिशा अनुपात
• Components of a Vector – सदिश के अवयव
  • Rectangular Components – आयताकार अवयव
  • Resolution of a Vector – सदिश का अवयवीकरण
• Vector Algebra – सदिश बीजगणित
  • Addition of Vectors – सदिशों का योग
  • Subtraction of Vectors – सदिशों का अंतर
  • Triangle Law of Vector Addition – त्रिभुज नियम
  • Parallelogram Law of Vector Addition – समांतर चतुर्भुज नियम
• Scalar (Dot) Product of Vectors – सदिशों का अदिश गुणन
  • Definition – परिभाषा
  • Properties – गुणधर्म
  • Projection of a Vector – सदिश का प्रक्षेप
  • Angle Between Two Vectors – दो सदिशों के बीच का कोण
• Vector (Cross) Product of Vectors – सदिशों का सदिश गुणन
  • Definition – परिभाषा
  • Properties – गुणधर्म
  • Geometrical Interpretation – ज्यामितीय अर्थ
  • Area of Triangle and Parallelogram – क्षेत्रफल
• Scalar Triple Product – अदिश त्रिगुणन
  • Definition – परिभाषा
  • Properties – गुणधर्म
  • Volume of a Parallelepiped – समांतर षट्फलक का आयतन
• Vector Triple Product – सदिश त्रिगुणन
  • Definition – परिभाषा
  • Properties – गुणधर्म
• Coplanar Vectors – सहतलीय सदिश
  • Condition for Coplanarity – सहतलीय होने की शर्त
• Collinearity of Points – बिंदुओं का सहरेखीय होना
  • Condition for Collinearity – सहरेखीय होने की शर्त
• Vector Equation of a Line – रेखा का सदिश समीकरण
  • General Vector Equation – सामान्य सदिश समीकरण
  • Parametric Form – पैरामीट्रिक रूप
  • Symmetric Form – सममित रूप
• Angle Between Two Lines – दो रेखाओं के बीच का कोण
• Shortest Distance Between Two Lines – दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी
• Vector Equation of a Plane – समतल का सदिश समीकरण
  • General Equation of a Plane – समतल का सामान्य समीकरण
  • Plane Through a Point – किसी बिंदु से होकर जाने वाला समतल
  • Plane Through Three Points – तीन बिंदुओं से होकर जाने वाला समतल
• Angle Between Two Planes – दो समतलों के बीच का कोण
• Angle Between a Line and a Plane – रेखा एवं समतल के बीच का कोण
• Distance of a Point from a Plane – किसी बिंदु की समतल से दूरी
• Vector Identities – सदिश सर्वसमिकाएँ
  • Important Vector Identities – महत्वपूर्ण सदिश सर्वसमिकाएँ
• Applications of Vector Algebra – सदिश बीजगणित के अनुप्रयोग
  • Applications in Geometry – ज्यामिति में अनुप्रयोग
  • Applications in Physics – भौतिकी में अनुप्रयोग

11. Three Dimensional Geometry – त्रिविमीय ज्यामिति

• Introduction – परिचय
  Concept of three dimensional geometry
  त्रिविमीय ज्यामिति की अवधारणा
• Coordinate System in Three Dimensions –
  त्रिविमीय निर्देशांक तंत्र
  X-axis, Y-axis and Z-axis
  X, Y और Z अक्ष
• Coordinates of a Point in Space –
  अंतरिक्ष में किसी बिंदु के निर्देशांक
  Ordered triplet (x, y, z)
  क्रमबद्ध त्रय (x, y, z)
• Origin in Three Dimensions –
  त्रिविमीय मूल बिंदु
  Origin (0, 0, 0)
  मूल बिंदु (0, 0, 0)
• Position of a Point in Different Octants –
  विभिन्न अष्टकों में बिंदु की स्थिति
  Eight octants of space
  अंतरिक्ष के आठ अष्टक
• Distance of a Point from the Origin –
  मूल बिंदु से बिंदु की दूरी
  Distance formula from origin
  मूल बिंदु से दूरी का सूत्र
• Distance Between Two Points –
  दो बिंदुओं के बीच की दूरी
  Distance formula in three dimensions
  त्रिविमीय दूरी सूत्र
• Midpoint of a Line Segment –
  रेखाखंड का मध्यबिंदु
  Coordinates of midpoint
  मध्यबिंदु के निर्देशांक
• Section Formula in Three Dimensions –
  त्रिविमीय विभाजन सूत्र
  Internal division of a line segment
  रेखाखंड का आंतरिक विभाजन
  (External division – वैकल्पिक)
• Coordinates of the Point Dividing a Line Segment in a Given Ratio –
  दिए गए अनुपात में विभाजन करने वाले बिंदु के निर्देशांक
• Collinearity of Three Points –
  तीन बिंदुओं की समरेखीयता
  Condition for collinearity
  समरेखीय होने की शर्त
• Area of a Triangle in Three Dimensions (Optional) –
  त्रिविमीय त्रिभुज का क्षेत्रफल (वैकल्पिक)
  Area using coordinates
  निर्देशांकों द्वारा क्षेत्रफल
• Coordinates of the Centroid of a Triangle –
  त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक
  Centroid of three points
  तीन बिंदुओं का केंद्रक
• Applications of Distance Formula –
  दूरी सूत्र के अनुप्रयोग
  Finding unknown points
  अज्ञात निर्देशांक निकालना
• Summary of Formulae –
  सूत्रों का सारांश
  Distance, midpoint, section and centroid formulae
  दूरी, मध्यबिंदु, विभाजन एवं केंद्रक सूत्र

Part C : Probability & Statistics (प्रायिकता एवं सांख्यिकी)

12. Linear Programming – रैखिक प्रोग्रामन

• • Introduction – परिचय
    • Meaning of Linear Programming – रैखिक प्रोग्रामन का अर्थ
    • Applications of Linear Programming – रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग
  • Linear Programming Problem (LPP) – रैखिक प्रोग्रामन समस्या
    • Definition of LPP – रैखिक प्रोग्रामन समस्या की परिभाषा
    • Components of LPP – रैखिक प्रोग्रामन समस्या के घटक
      • Decision Variables – निर्णय चर
      • Objective Function – उद्देश्य फलन
      • Constraints – बाधाएँ
  • Mathematical Formulation of LPP – रैखिक प्रोग्रामन का गणितीय रूप
    • Steps to formulate LPP – LPP को गणितीय रूप में व्यक्त करने के चरण
    • Example of Formulation – गणितीय रूप का उदाहरण
  • Graphical Method of Solution – रैखिक प्रोग्रामन का ग्राफिकल विधि
    • Feasible Region – संभाव्य क्षेत्र
    • Plotting Constraints – बाधाओं का ग्राफ पर निरूपण
    • Identifying Feasible Solutions – संभाव्य समाधानों की पहचान
    • Corner Point Method – कॉर्नर पॉइंट विधि
  • Maximization and Minimization Problems – अधिकतम और न्यूनतम समस्याएँ
    • Objective Function for Maximization – अधिकतम के लिए उद्देश्य फलन
    • Objective Function for Minimization – न्यूनतम के लिए उद्देश्य फलन
    • Solving Using Graphical Method – ग्राफिकल विधि द्वारा समाधान
  • Special Cases in LPP – LPP में विशेष मामले
    • Infeasible Solution – असंभव समाधान
    • Unbounded Solution – असंख्य समाधान
    • Multiple Optimal Solutions – बहुविकल्पीय अधिकतम/न्यूनतम समाधान
  • Advantages and Limitations of LPP – LPP के लाभ और सीमाएँ
    • Benefits of LPP – रैखिक प्रोग्रामन के लाभ
    • Limitations of LPP – रैखिक प्रोग्रामन की सीमाएँ
  • Solution of LPP by Graphical Method – ग्राफिकल विधि द्वारा LPP का समाधान
    • Steps to Solve LPP Graphically – LPP को ग्राफिकल तरीके से हल करने के चरण
      • Identify decision variables – निर्णय चर निर्धारित करना
      • Formulate objective function – उद्देश्य फलन बनाना
      • Formulate constraints – बाधाएँ बनाना
      • Plot constraints on graph – ग्राफ पर बाधाओं का निरूपण
      • Determine feasible region – संभाव्य क्षेत्र निर्धारित करना
      • Evaluate objective function at corner points – कॉर्नर पॉइंट्स पर उद्देश्य फलन का मान निकालना
      • Identify optimal solution – सर्वोत्तम समाधान का निर्धारण
    • Examples – उदाहरण:
      • Maximization Problem – अधिकतम समस्या
      • Minimization Problem – न्यूनतम समस्या
  • Feasible and Infeasible Solutions – संभाव्य और असंभव समाधान
    • Feasible Solution – संभाव्य समाधान: satisfies all constraints – सभी बाधाओं को पूरा करने वाला समाधान
    • Infeasible Solution – असंभव समाधान: violates at least one constraint – कम से कम एक बाधा का उल्लंघन करने वाला समाधान
  • Unbounded Solution – असंख्य समाधान
    • Definition – परिभाषा: feasible region is open in the direction of optimization – जब संभाव्य क्षेत्र उद्देश्य फलन की दिशा में खुला हो
    • Identification – पहचान: graphical method / infeasible constraints
  • Multiple Optimal Solutions – बहुविकल्पीय अधिकतम/न्यूनतम समाधान
    • Condition for Multiple Optima – when objective function line is parallel to a boundary of feasible region – जब उद्देश्य फलन की रेखा संभाव्य क्षेत्र की सीमा के समानांतर हो
    • Identification Graphically – ग्राफिकली पहचान
  • Applications of Linear Programming – रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग
    • Business – व्यापार में: Profit maximization, cost minimization
    • Manufacturing – निर्माण में: Resource allocation, production planning
    • Transportation – परिवहन में: Optimal routing, cost minimization
    • Agriculture – कृषि में: Crop planning, land usage
  • Summary – सारांश
    • LPP helps in optimizing resources efficiently – LPP संसाधनों का प्रभावी उपयोग करने में मदद करता है
    • Graphical method is suitable for two variables – ग्राफिकल विधि दो चर के लिए उपयुक्त है
    • Important to check for special cases – विशेष मामलों की जाँच करना आवश्यक है

13. Probability – प्रायिकता

• Introduction – परिचय

• • Definition of Probability – प्रायिकता की परिभाषा

  • Importance of Probability – प्रायिकता का महत्व

• Random Experiment – यादृच्छिक प्रयोग

• • Meaning of Random Experiment – यादृच्छिक प्रयोग का अर्थ

  • Examples of Random Experiments – यादृच्छिक प्रयोग के उदाहरण

• Sample Space – नमूना स्थान

• • Definition of Sample Space – नमूना स्थान की परिभाषा

  • Representation of Sample Space – नमूना स्थान का प्रतिनिधित्व

  • Examples of Sample Space – नमूना स्थान के उदाहरण

• Events – घटनाएँ

• • Definition of an Event – घटना की परिभाषा

  • Types of Events – घटनाओं के प्रकार:

    • Certain Event – निश्चित घटना

    • Impossible Event – असंभव घटना

    • Elementary Event – प्राथमिक घटना

    • Compound Event – सम्मिश्रित घटना

• Favorable Outcomes – अनुकूल परिणाम

• • Meaning of Favorable Outcomes – अनुकूल परिणाम का अर्थ

  • Examples – उदाहरण

• Probability of an Event – किसी घटना की प्रायिकता

• • Formula: P(E) = Number of favorable outcomes / Total number of outcomes

    – सूत्र: P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या

  • Calculation Steps – गणना के चरण

  • Examples – उदाहरण

• Complementary Events – पूरक घटनाएँ

• • Definition – परिभाषा

  • Relation: P(E’) = 1 – P(E) – सूत्र

  • Examples – उदाहरण

• Simple Problems on Probability – प्रायिकता पर सरल समस्याएँ

• • Dice Problems – पासा के प्रश्न

  • Coin Tossing Problems – सिक्का उछालने के प्रश्न

  • Card Problems – ताश के पत्तों के प्रश्न

  • Ball from an Urn Problems – पात्र से गेंद चुनने के प्रश्न

• Important Properties of Probability – प्रायिकता के महत्वपूर्ण गुण

• • Probability is always between 0 and 1 – प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है

  • Sum of probabilities of all elementary events = 1 – सभी प्राथमिक घटनाओं की प्रायिकता का योग 1 होता है

• Law of Large Numbers – बड़े संख्या का नियम

• • Statement of the Law – नियम का कथन

  • Relation with Experimental Probability – प्रायोगिक प्रायिकता के साथ सम्बन्ध

  • Examples – उदाहरण

• Theoretical vs Experimental Probability – सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता

• • Definition of Theoretical Probability – सैद्धांतिक प्रायिकता की परिभाषा

  • Definition of Experimental Probability – प्रायोगिक प्रायिकता की परिभाषा

  • Difference with Examples – अंतर और उदाहरण

• Compound Events – सम्मिश्रित घटनाएँ

• • Union of Events (E ∪ F) – घटनाओं का योग

  • Intersection of Events (E ∩ F) – घटनाओं का संयुक्त होना

  • Mutually Exclusive Events – परस्पर बहिष्कृत घटनाएँ

  • Independent Events – स्वतंत्र घटनाएँ

  • Examples and Problems – उदाहरण और समस्याएँ

• Probability Using Permutations and Combinations – क्रमचय और संचयन का उपयोग

• • Counting Favorable Outcomes using Combinations – संचयन द्वारा अनुकूल परिणाम गिनना

  • Examples – उदाहरण

• Conditional Probability – सशर्त प्रायिकता

• • Definition – परिभाषा

  • Formula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) – सूत्र

  • Examples – उदाहरण

• Independent and Dependent Events – स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ

• • Definition of Independent Events – स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा

  • Definition of Dependent Events – आश्रित घटनाओं की परिभाषा

  • Probability Calculations – प्रायिकता की गणना

  • Examples – उदाहरण

• Applications of Probability – प्रायिकता के अनुप्रयोग

• • Real-life Applications – वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

  • Examples from games, sports, weather prediction, and statistics – खेल, मौसम पूर्वानुमान और सांख्यिकी से उदाहरण

• Exercises and Practice Problems – अभ्यास और समस्याएँ

• • Simple Problems – सरल समस्याएँ

  • Complex Problems – जटिल समस्याएँ

  • Dice, Coins, Cards, Balls in Urn – पासा, सिक्का, ताश, पात्र में गेंद

• Summary – सारांश

• • Key Formulas – मुख्य सूत्र

  • Important Points – महत्वपूर्ण बिंदु