Class 10th Mathematics गणित All Chapter for Exam 2026

Chapter 1: Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

1. Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

वे सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा (Number Line) पर प्रदर्शित किया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers

2. Euclid’s Division Lemma (यूक्लिड का विभाजन प्रमेय)

Statement: किसी भी दो धनात्मक पूर्णांकों a और b (a > b) के लिए ऐसे पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

Example:

17 = 5 × 3 + 2

3. Euclid’s Division Algorithm (यूक्लिड की विभाजन विधि)

यह विधि दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए प्रयोग की जाती है।

बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें
यदि शेषफल 0 हो, तो भाजक ही HCF होगा
यदि शेषफल 0 न हो, तो प्रक्रिया दोहराएँ

Example: HCF of 135 and 225 = 45

4. Fundamental Theorem of Arithmetic (अंकगणित का मूल प्रमेय)

प्रत्येक composite संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से लिखा जा सकता है।

Example: 60 = 2² × 3 × 5

5. Prime Factorisation (अभाज्य गुणनखंड)

किसी संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना prime factorisation कहलाता है।

Example: 84 = 2² × 3 × 7

6. HCF – Highest Common Factor (महत्तम समापवर्तक)

दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा common factor HCF कहलाता है।

7. LCM – Least Common Multiple (लघुत्तम समापवर्त्य)

दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा common multiple LCM कहलाता है।

8. Relationship between HCF and LCM

HCF × LCM = Product of given numbers

Example:

HCF = 6, LCM = 36

6 × 36 = 12 × 18

9. Rational Numbers (परिमेय संख्याएँ)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q ≠ 0 हो।

Examples: 2/3, -5/7, 0.25

10. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

Examples: √2, √3, π

इनका दशमलव प्रसार non-terminating और non-recurring होता है।

11. Proof of Irrationality (अपरिमेयता का प्रमाण)

√2 एक अपरिमेय संख्या है।

मान लें √2 = p/q (जहाँ p और q सहाभाज्य हैं)

p² = 2q² ⇒ p और q दोनों even निकलते हैं (विरोधाभास)

अतः √2 अपरिमेय है।

12. Decimal Expansion of Rational Numbers

परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार दो प्रकार का होता है।

13. Terminating Decimal (सांत दशमलव)

यदि p/q के lowest form में q = 2^m × 5ⁿ हो, तो दशमलव सांत होता है।

Example: 1/8 = 0.125

14. Non-Terminating Recurring Decimal (असांत आवर्ती दशमलव)

जिसका दशमलव समाप्त न हो लेकिन दोहराता रहे।

Example: 1/3 = 0.333…

15. Important Exam Points

Euclid’s Division Algorithm से HCF
√2, √3 की irrationality proof
HCF × LCM = Product
Decimal expansion rules