Chapter 8: Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय)

Introduction – परिचय

Definition: Trigonometry is a branch of mathematics that deals with the relationship between the sides and angles of a triangle, especially a right-angled triangle.

परिभाषा: त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का अध्ययन किया जाता है, विशेषकर समकोण त्रिभुज में।

Origin of the Word Trigonometry (त्रिकोणमिती की उत्पत्ति)

The word Trigonometry comes from two Greek words:

• • Trigonon = Triangle

• • Metron = Measure

So, Trigonometry means measurement of triangles.

Trigonometry शब्द दो यूनानी शब्दों से बना है:

• • Trigonon = त्रिभुज

• • Metron = मापन

अर्थात् त्रिकोणमिति का अर्थ है त्रिभुजों का मापन।

Right-angled Triangle – समकोण त्रिभुज

A triangle in which one angle is 90° is called a right-angled triangle.

जिस त्रिभुज में एक कोण 90° का होता है, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

Parts of a Right-Angled Triangle (एक समकोण त्रिभुज के मुख्य भाग)

Hypotenuse, Base, Perpendicular

• • The side opposite to the right angle is called Hypotenuse

• • The side adjacent to the angle is called Base

• • The side perpendicular to the base is called Perpendicular

कर्ण, आधार, लंब

• • समकोण के सामने वाली भुजा को कर्ण कहते हैं।

• • कोण के आसन्न भुजा को आधार कहते हैं।

• • आधार पर लंबवत भुजा को लंब कहते हैं।

Trigonometric Ratios of an Acute Angle (न्यून कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात)

• • The ratios formed by the sides of a right-angled triangle are called trigonometric ratios.

• • समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते हैं।

There are six trigonometric ratios (Total 6 त्रिकोणमितीय अनुपात होते हैं)

1. 1. Sine (sin)

1. 1. Cosine (cos)

1. 1. Tangent (tan)

1. 1. Cosecant (cosec)

1. 1. Secant (sec)

1. 1. Cotangent (cot)

Trigonometric Ratios of Specific Angles (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) – विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

Trigonometric Ratios Table – त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी

Relationship between Trigonometric Ratios – त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध

Trigonometric Identities – त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

Proof of Trigonometric Identities – त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रमाण

A trigonometric identity is an equation involving trigonometric ratios that is true for all values of the angle for which both sides of the equation are defined.

वह समीकरण जो सभी उन कोणों के लिए सत्य हो जिनके लिए दोनों पक्ष परिभाषित हों, उसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहते हैं।

Fundamental Trigonometric Identities (मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ)

1. Reciprocal Identities (व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ)

• • sin θ = 1 / cosec θ

• • cos θ = 1 / sec θ

• • tan θ = 1 / cot θ

• • cosec θ = 1 / sin θ

• • sec θ = 1 / cos θ

• • cot θ = 1 / tan θ

2. Quotient Identities (भागफल सर्वसमिकाएँ)

• • tan θ = sin θ / cos θ

• • cot θ = cos θ / sin θ

3. Pythagorean Identities (पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ)

• • sin² θ + cos² θ = 1

• • 1 + tan² θ = sec² θ

• • 1 + cot² θ = cosec² θ

अनुपूरक कोण / Complementary Angles

Two angles whose sum is 90°.(दो कोण जिनका योग 90° हो।)

• • sin (90° − θ) = cos θ

• • cos (90° − θ) = sin θ

• • tan (90° − θ) = cot θ

• • sec (90° − θ) = cosec θ

• • cosec (90° − θ) = sec θ

• • cot (90° − θ) = tan θ

Importance of Trigonometry (त्रिकोणमिति का उपयोग)

Trigonometry is used in:

• • Height and distance problems

• • Engineering and architecture

• • Astronomy

• • Navigation

• • Physics and real-life calculations

त्रिकोणमिति का उपयोग किया जाता है:

• • ऊँचाई और दूरी निकालने में

• • इंजीनियरिंग और वास्तुकला में

• • खगोल विज्ञान में

• • नौवहन में

• • भौतिकी एवं दैनिक जीवन में