Chapter 1: Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

1. Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

वे सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा (Number Line) पर प्रदर्शित किया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers

2. Euclid’s Division Lemma (यूक्लिड का विभाजन प्रमेय)

Statement: किसी भी दो धनात्मक पूर्णांकों a और b (a > b) के लिए ऐसे पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

Example:

17 = 5 × 3 + 2

3. Euclid’s Division Algorithm (यूक्लिड की विभाजन विधि)

यह विधि दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए प्रयोग की जाती है।

  1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें
  2. यदि शेषफल 0 हो, तो भाजक ही HCF होगा
  3. यदि शेषफल 0 न हो, तो प्रक्रिया दोहराएँ

Example: HCF of 135 and 225 = 45

4. Fundamental Theorem of Arithmetic (अंकगणित का मूल प्रमेय)

प्रत्येक composite संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से लिखा जा सकता है।

Example: 60 = 2² × 3 × 5

5. Prime Factorisation (अभाज्य गुणनखंड)

किसी संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना prime factorisation कहलाता है।

Example: 84 = 2² × 3 × 7

6. HCF – Highest Common Factor (महत्तम समापवर्तक)

दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा common factor HCF कहलाता है।

7. LCM – Least Common Multiple (लघुत्तम समापवर्त्य)

दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा common multiple LCM कहलाता है।

8. Relationship between HCF and LCM

HCF × LCM = Product of given numbers

Example:

HCF = 6, LCM = 36

6 × 36 = 12 × 18

9. Rational Numbers (परिमेय संख्याएँ)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q ≠ 0 हो।

Examples: 2/3, -5/7, 0.25

10. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

Examples: √2, √3, π

इनका दशमलव प्रसार non-terminating और non-recurring होता है।

11. Proof of Irrationality (अपरिमेयता का प्रमाण)

√2 एक अपरिमेय संख्या है।

मान लें √2 = p/q (जहाँ p और q सहाभाज्य हैं)

p² = 2q² ⇒ p और q दोनों even निकलते हैं (विरोधाभास)

अतः √2 अपरिमेय है।

12. Decimal Expansion of Rational Numbers

परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार दो प्रकार का होता है।

13. Terminating Decimal (सांत दशमलव)

यदि p/q के lowest form में q = 2m × 5n हो, तो दशमलव सांत होता है।

Example: 1/8 = 0.125

14. Non-Terminating Recurring Decimal (असांत आवर्ती दशमलव)

जिसका दशमलव समाप्त न हो लेकिन दोहराता रहे।

Example: 1/3 = 0.333…

15. Important Exam Points

  • Euclid’s Division Algorithm से HCF
  • √2, √3 की irrationality proof
  • HCF × LCM = Product
  • Decimal expansion rules
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