Introduction / परिचय

Coordinate Geometry is the branch of mathematics that studies geometry using a coordinate system. It connects algebra and geometry by representing points on a plane.

निर्देशांक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें निर्देशांक तंत्र की सहायता से ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन किया जाता है। यह बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है।

Cartesian Coordinate System / कार्तीय निर्देशांक तंत्र

The Cartesian plane consists of two perpendicular number lines: • X-axis (horizontal) • Y-axis (vertical) They intersect at the origin O(0,0).
कार्तीय तल दो परस्पर लंबवत संख्या रेखाओं से बनता है: • X-अक्ष (क्षैतिज) • Y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) ये मूल बिंदु O(0,0) पर मिलती हैं।

Coordinates of a Point / किसी बिंदु के निर्देशांक

The position of a point is represented by an ordered pair (x, y), where: x = Abscissa y = Ordinate

किसी बिंदु की स्थिति को क्रमित युग्म (x, y) से दर्शाया जाता है, जहाँ: x = भुज y = कोटि

Coordinates of a Point (किसी बिंदु के निर्देशांक)

A point is represented as (x, y) where:

  • x = x-coordinate (distance from Y-axis)
  • y = y-coordinate (distance from X-axis)

किसी बिंदु को (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ:

  • x = x-निर्देशांक (Y-अक्ष से दूरी)
  • y = y-निर्देशांक (X-अक्ष से दूरी)

Quadrants / चतुर्थांश

The coordinate plane is divided into four quadrants: 1st: (+,+) 2nd: (-,+) 3rd: (-,-) 4th: (+,-)
निर्देशांक तल चार चतुर्थांशों में विभाजित होता है: प्रथम: (+,+) द्वितीय: (-,+) तृतीय: (-,-) चतुर्थ: (+,-)

Coordinates of Origin and Axes / मूल बिंदु एवं अक्षों के निर्देशांक

• Origin: (0, 0) • Any point on X-axis: (x, 0) • Any point on Y-axis: (0, y)
• मूल बिंदु: (0, 0) • X-अक्ष पर कोई बिंदु: (x, 0) • Y-अक्ष पर कोई बिंदु: (0, y)

Graph of a Point / बिंदु का आलेख

To plot a point (x, y): 1. Move x units along X-axis 2. Move y units parallel to Y-axis
बिंदु (x, y) को आलेखित करने के लिए: 1. X-अक्ष पर x इकाई चलें 2. फिर Y-अक्ष के समानांतर y इकाई चलें

Distance of a Point from X-axis and Y-axis

Distance of point P(x, y): • From X-axis = |y| • From Y-axis = |x|
बिंदु P(x, y) की दूरी: • X-अक्ष से = |y| • Y-अक्ष से = |x|

Distance Formula / दूरी सूत्र

Distance = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र ऊपर दिया गया है।

Mid-Point Formula / मध्यबिंदु सूत्र

M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)
यह सूत्र रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

Section Formula / विभाजन सूत्र

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n) , (my₂ + ny₁)/(m+n))
यह सूत्र रेखाखंड को किसी दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करता है।

Area of Triangle / त्रिभुज का क्षेत्रफल

Area = ½ | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) |
यदि क्षेत्रफल शून्य हो तो बिंदु समरेखीय होते हैं।

Collinearity of Points / बिंदुओं की समरेखीयता

Three points are said to be collinear if they lie on the same straight line.
Condition: Area of triangle formed by the three points = 0
यदि तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो, तो वे बिंदु समरेखीय कहलाते हैं।

Important Observations / महत्वपूर्ण तथ्य

• If x = y → point lies on line y = x • If x = -y → point lies on line y = -x • Equal distance from both axes → |x| = |y|
• यदि x = y → बिंदु रेखा y = x पर होगा • यदि x = -y → बिंदु रेखा y = -x पर होगा • दोनों अक्षों से समान दूरी → |x| = |y|

Relation Between Algebra and Geometry (बीजगणित और ज्यामिति का संबंध)

In coordinate geometry:

  • Equations represent lines and curves
  • Solutions of equations represent points
  • Graphs visually explain algebraic relationships

निर्देशांक ज्यामिति में:

  • समीकरण रेखाओं और वक्रों को दर्शाते हैं
  • समीकरणों के हल बिंदुओं को दर्शाते हैं
  • ग्राफ बीजगणितीय संबंधों को सरल बनाते हैं

Uses of Coordinate Geometry / निर्देशांक ज्यामिति के उपयोग

• Navigation and GPS • Architecture and Engineering • Computer Games and Animation • Astronomy and Physics
• नेविगेशन एवं GPS • वास्तुकला और इंजीनियरिंग • कंप्यूटर गेम और एनीमेशन • खगोल विज्ञान और भौतिकी
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