1. Introduction – परिचय

English: A triangle is a closed figure formed by joining three non-collinear points. It is one of the most important figures in geometry. In this chapter, we study similar triangles, their properties, area relations and Pythagoras theorem.

हिंदी: त्रिभुज तीन असहचर बिंदुओं को जोड़कर बनने वाली बंद आकृति है। यह ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण आकृतियों में से एक है।

2. Similar Figures – समरूप आकृतियाँ

English: Two figures are similar if:

  • Their corresponding angles are equal
  • Their corresponding sides are in the same ratio

हिंदी: दो आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।

3. Similar Triangles – समरूप त्रिभुज

English: Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and corresponding sides are proportional.

△ABC ∼ △DEF
AB/DE = BC/EF = CA/FD

हिंदी: दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों तथा भुजाएँ समान अनुपात में हों।

4. Criteria for Similarity of Triangles – समरूपता की कसौटियाँ

  • AA Similarity Criterion
  • SAS Similarity Criterion
  • SSS Similarity Criterion

5. AA Similarity Criterion – AA समरूपता कसौटी

English: If two angles of one triangle are equal to two angles of another triangle, then the triangles are similar.

हिंदी: यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

6. SAS Similarity Criterion – SAS समरूपता कसौटी

English: If two sides of one triangle are proportional to two sides of another triangle and the included angle is equal, then the triangles are similar.

हिंदी: यदि दो भुजाएँ समान अनुपात में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

7. SSS Similarity Criterion – SSS समरूपता कसौटी

English: If the three sides of one triangle are proportional to the three sides of another triangle, then the triangles are similar.

हिंदी: यदि तीनों भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

8. Areas of Similar Triangles – क्षेत्रफलों का अनुपात

English: The ratio of areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

Area ratio = (Side ratio)2

हिंदी: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

9. Pythagoras Theorem – पायथागोरस प्रमेय

English: In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.

AC² = AB² + BC²

हिंदी: समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

10. Converse of Pythagoras Theorem – विलोम

English: If the square of one side equals the sum of squares of the other two sides, then the triangle is right-angled.

हिंदी: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो त्रिभुज समकोण होता है।

11. Basic Proportionality Theorem (BPT)

English: A line parallel to one side of a triangle divides the other two sides in the same ratio.

AD/DB = AE/EC

हिंदी: त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

12. Applications of Similar Triangles

  • Finding heights and distances
  • Shadow based problems
  • Real life measurements

13. Example

If AD = 3 cm and DB = 2 cm, then AE : EC = 3 : 2

14. Common Mistakes

  • Forgetting square in area ratio
  • Wrong application of Pythagoras theorem
  • Ignoring included angle in SAS

15. Chapter Summary

  • Similarity Criteria: AA, SAS, SSS
  • Area ratio = square of side ratio
  • Pythagoras theorem applies only to right-angled triangles
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