Class 12 Math Ch-10 रैखिक प्रोग्रामन MCQs

नीचे दिए गए सभी Questions Bihar Board परीक्षा 2026 के लिए “Very Important Questions” (अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न) हैं। इन सभी Class 12th के (Mathematics/गणित) = गणित भाग-1 (Hindi Medium) Book Chapter-10 रैखिक प्रोग्रामन का Questions का Solve का  वीडियो Youtube और Website पर Upload किया गया है।

1. यदि $P(A) = 6/11, P(B) = 5/11, P(A \cup B) = 7/11$ तो $P(A \cap B) = ?$ [BSEB, 2020 A, 2024 A]
(A) $4/11$
(B) $5/11$
(C) $7/11$
(D) $9/11$

2. व्यवरोधों $x + y \le 13, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = x – 3y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2023 A]
(A) $39$
(B) $26$
(C) $13$
(D) $-26$

3. एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है। ठीक छः चित आने की प्रायिकता है : [BSEB, 2022 A, 2024 A]
(A) ${}^{10}C_6 (1/2)^{10}$
(B) ${}^{10}C_6 (1/2)^6$
(C) $(1/2)^{10}$
(D) ${}^{10}C_6 (1/2)^3$

4. $Z = 5x + 7y$ का अधिकतम मान अवरोधों $x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत है : [BSEB, 2020 A]
(A) $20$
(B) $28$
(C) $30$
(D) $35$

5. यदि $P(A) = 3/8, P(B) = 1/2$ और $P(A \cap B) = 1/4$ तो $P(B/A) =$ [BSEB, 2012]
(A) $3/5$
(B) $5/8$
(C) $3/8$
(D) $5/3$

6. व्यवरोधों $x \ge 0, y \ge 0$ का ग्राफ स्थित है : [BSEB, 2022 A]
(A) प्रथम चतुर्थांश में
(B) द्वितीय चतुर्थांश में
(C) तृतीय चतुर्थांश में
(D) चतुर्थ चतुर्थांश में

7. यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो $P(A \cap B’) = \dots$ [BSEB, 2021 A]
(A) $P(A) \cdot P(B)$
(B) $P(A) \cdot P(B’)$
(C) $P(A’) \cdot P(B)$
(D) $P(A’) \cdot P(B’)$

8. व्यवरोधों $x + y \le 35, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $z = 2x + y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2025 A]
(A) $35$
(B) $105$
(C) $70$
(D) $140$

9. ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके ‘लाल रंग का रानी’ होने की प्रायिकता है : [BSEB, 2020 A]
(A) $1/13$
(B) $1/26$
(C) $1/52$
(D) $2/13$

10. सुसंगत क्षेत्र बिन्दुओं का समुच्चय है जो सन्तुष्ट करता है : [BSEB]
(A) उद्देश्य फलन को
(B) कुल व्यवरोध को
(C) सभी व्यवरोध को
(D) कोई नहीं

11. यदि घटना $E$ का अनुकूल संयोगानुपात $a : b$ हो, तो $P(E) =$ [BSEB, 2025 A]
(A) $a / (a-b)$
(B) $a / (a+b)$
(C) $b / (a+b)$
(D) $b / (a-b)$

12. $P(A) + P(A’) =$ [BSEB, 2016 C, 2019 A, 2021 A]
(A) $0$
(B) $1$
(C) $-1$
(D) $P(E)$

13. व्यवरोधों $x + y \le 7, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $11x + 2y$ का न्यूनतम मान है : [BSEB, 2022 A]
(A) $77$
(B) $14$
(C) $0$
(D) $-14$

14. यदि $P(A) = 1/2, P(B) = 0$ तब $P(A/B)$ है : [BSEB, 2020 A, 2022 A]
(A) $0$
(B) $1/2$
(C) $1$
(D) परिभाषित नहीं

15. $Z = 3x + 2y$ का अधिकतम मान जहाँ कि व्यवरोध $x + 2y \le 10, 3x + y \le 15, x \ge 0, y \ge 0$ है : [BSEB, 2020 A]
(A) $0$
(B) $15$
(C) $10$
(D) $18$

16. एक जोड़ा पासा को फेंका जाता है। दोनों पर सम अभाज्य संख्या पाने की प्रायिकता है : [BSEB, 2013]
(A) $1/36$
(B) $1/12$
(C) $1/6$
(D) $0$

17. व्यवरोधों $3x + 4y \le 24, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = 7x + 8y$ का न्यूनतम मान है : [BSEB, 2023 A]
(A) $56$
(B) $48$
(C) $0$
(D) $-12$

18. यदि $P(A) = 3/8, P(B) = 1/2$ तथा $P(A \cap B) = 1/4$ हो तो $P(A \cup B) = \dots$ [BSEB, 2017 A, 2019 A]
(A) $0$
(B) $5/8$
(C) $1$
(D) $4$

19. $x \ge 3$ का आलेख एक रेखा है जो : [BSEB, 2021 A]
(A) $x$-अक्ष के समांतर है
(B) $y$-अक्ष के समांतर है
(C) मूल बिंदु से गुजरती है
(D) इनमें से कोई नहीं

20. यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि $P(A) \ne 0$ और $P(B/A) = 1$, तो [BSEB, 2012, 2018 A, 2022 A]
(A) $B \subset A$
(B) $A \subset B$
(C) $A \cap B = \phi$
(D) $B = \phi$

21. $Z = 3x + 2y$ का अधिकतम मान जहाँ कि व्यवरोध $3x + y \le 15, x \ge 0, y \ge 0$ है : [BSEB, 2024 A]
(A) $30$
(B) $15$
(C) $10$
(D) इनमें से कोई नहीं

22. यदि $P(A \cup B) = 0.8$ और $P(A \cap B) = 0.3$ हो, तो $P(A) + P(B) = \dots$ [BSEB, 2022 A]
(A) $0.5$
(B) $1.1$
(C) $0.8$
(D) $0.3$

23. ताश के 52 पत्तों में से यदि एक पत्ता खींचा जाए तो इसके इक्का होने की प्रायिकता है : [BSEB, 2011]
(A) $1/26$
(B) $1/13$
(C) $1/52$
(D) $1/4$

24. $Z = ax + by$ जहाँ $a, b > 0$ अचर हैं, को कहा जाता है : [BSEB, 2019 A]
(A) उद्देश्य फलन (Objective Function)
(B) व्यवरोध (Constraint)
(C) सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region)
(D) इनमें से कोई नहीं

25. 52 पत्तों की ताश की एक गड्डी से एक बादशाह निकालने की प्रायिकता है : [BSEB, 2024 A]
(A) $1/13$
(B) $4/13$
(C) $1/52$
(D) $1/4$

26. व्यवरोधों $x + y \le 6, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = x + 2y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2021 A]
(A) $12$
(B) $6$
(C) $18$
(D) $0$

27. यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो $P(A \cap B) =$ [BSEB, 2017 A, 2022 A, 2024 A]
(A) $P(A) \times P(B)$
(B) $P(A/B)$
(C) $P(A) + P(B)$
(D) $P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

28. अवरोधों $x + y \le 5, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = 2x – 3y$ का न्यूनतम मान क्या है? [BSEB, 2022 A]
(A) $0$
(B) $-15$
(C) $10$
(D) $-10$

29. यदि $A, B$ और $C$ three independent events, then $P(A \cup B \cup C) = \dots$ [BSEB, 2018 A]
(A) $1 – P(A’)P(B’)P(C’)$
(B) $P(A) + P(B) + P(C)$
(C) $P(A)P(B)P(C)$
(D) इनमें से कोई नहीं

30. $x + y \le 10, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = 3x + 2y$ का अधिकतम मान क्या होगा? [BSEB, 2024 A]
(A) $30$
(B) $20$
(C) $10$
(D) $0$

31. यदि $P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(A \cap B) = 1/8$ तो $P(A/B) = \dots$ [BSEB, 2023 A]
(A) $1/4$
(B) $1/8$
(C) $1/2$
(D) $2/3$

32. एक linear programming problem में उद्देश्य फलन है : [BSEB, 2019 C]
(A) रैखिक
(B) द्विघातीय
(C) त्रिघातीय
(D) इनमें से कोई नहीं

33. दो पासे के फेंक में जोड़ा पाने की प्रायिकता है : [BSEB, 2025 A]
(A) $2/3$
(B) $1/6$
(C) $5/6$
(D) $5/36$

34. व्यवरोधों $3x + 5y \le 30, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $x + y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2022 A]
(A) $16$
(B) $10$
(C) $6$
(D) इनमें से कोई नहीं

35. $1 – P(A’ \cap B’) =$ [BSEB, 2021 A]
(A) $P(A \cap B)$
(B) $P(A \cup B)$
(C) $P(A)$
(D) $P(B)$

36. व्यवरोधों $x + y \le 2, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = 3x + y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2023 A]
(A) $4$
(B) $6$
(C) $2$
(D) $0$

37. प्रायिकता का योग प्रमेय है : [BSEB, 2025 A]
(A) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
(B) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(A \cap B)$
(C) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
(D) $P(A \cup B) = $P(A) \cdot P(B)$

38. रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देश्य फलन : [BSEB, 2017 C]
(A) व्यवरोध
(B) इष्टतम के लिए फलन
(C) चरों के मध्य संबंध
(D) कोई नहीं

39. यदि $P(A) = 3/8, P(B) = 1/2, P(A \cap B) = 1/4$ तो $P(A/B) =$ [BSEB, 2016 A, 2018 A]
(A) $1/4$
(B) $1/2$
(C) $2/3$
(D) $3/8$

40. $x + y \le 5, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $Z = 5x + 3y$ का न्यूनतम मान है : [BSEB, 2025 A Sample]
(A) $0$
(B) $15$
(C) $25$
(D) $10$

41. यदि A और B दो घटनाएँ हों ताकि $P(A) \ne 0$ और $P(B/A) = 1$ तो : [BSEB, 2011, 2013]
(A) $P(A/B) = 1$
(B) $P(B/A) = 1$
(C) $P(A/B) = 0$
(D) $P(B/A) = 0$

42. $Z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान जहाँ कि व्यवरोध $x + 3y \ge 3, x + y \ge 2, x, y \ge 0$ है : [BSEB, 2020 A]
(A) $0$
(B) $9$
(C) $7$
(D) $10$

43. एक पासा फेंका जाता है। उस पर 5 आने की प्रायिकता है : [BSEB, 2017 C]
(A) $1/6$
(B) $5/6$
(C) $1$
(D) $0$

44. $z = 4x + y$ का अधिकतम मान $x + y \le 10, x, y \ge 0$ के अंतर्गत है :
(A) $36$
(B) $40$
(C) $30$
(D) कोई नहीं

45. किसी घटना की प्रायिकता $3/7$ है, तो उसका प्रतिकूल संयोगानुपात है : [BSEB, 2013]
(A) $4:3$
(B) $7:3$
(C) $3:7$
(D) $3:4$

46. $Z = 3x + 4y$ का अधिकतम मान जहाँ कि व्यवरोध $x + y \le 4, x \ge 0, y \ge 0$ है : [BSEB, 2021 A]
(A) $0$
(B) $12$
(C) $16$
(D) इनमें से कोई नहीं

47. यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो $P(A \cap B) = \dots$ [BSEB, 2021 A]
(A) $P(A) + P(B)$
(B) $P(A) – P(B)$
(C) $P(A) \cdot P(B)$
(D) $P(A) / P(B)$

48. व्यवरोधों $x + y \le 5, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $z = 2x – 3y$ का न्यूनतम मान है : [BSEB, 2022 A]
(A) $0$
(B) $10$
(C) $-15$
(D) $20$

49. यदि $A, B$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ हों तो $P(A \cap B \cap C) =$ [BSEB, 2017 A]
(A) $P(A) + P(B) + P(C)$
(B) $P(A) – P(B) + P(C)$
(C) $P(A) + P(B) – P(A \cap B) – P(C)$
(D) $P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$

50. निम्नलिखित में कौन उद्देश्य फलन है? [BSEB, 2022 A]
(A) $z = 5x + 7y$
(B) $x > 0$
(C) $y > 0$
(D) इनमें से कोई नहीं

51. यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि $P(A/B) + P(A’/B) =$ [BSEB, 2021 A]
(A) $0$
(B) $1$
(C) $-1$
(D) इनमें से कोई नहीं

52. $Z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान जहाँ कि व्यवरोध $x + y \le 2, x \ge 0, y \ge 0$ है : [BSEB, 2024 A]
(A) $16$
(B) $15$
(C) $0$
(D) इनमें से कोई नहीं

53. किसी पासे को फेंकने पर 2 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता है : [BSEB, 2018 A]
(A) $1/3$
(B) $2/3$
(C) $1/2$
(D) $5/6$

54. व्यवरोधों $x + y \le 8, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $z = 3x – y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2025 A]
(A) $-8$
(B) $24$
(C) $16$
(D) $8$

55. यदि $P(A) = 0.4, P(B) = 0.8, P(B/A) = 0.6$ तो $P(A \cup B) = \dots$ [BSEB, 2017 A]
(A) $0.96$
(B) $0.24$
(C) $0.56$
(D) $0.48$

56. सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) के बाह्य बिंदु पर क्या होता है? [BSEB, 2019 C]
(A) कोई समाधान नहीं मिलता
(B) अधिकतम मान मिलता है
(C) न्यूनतम मान मिलता है
(D) इनमें से कोई नहीं

57. यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो : [BSEB, 2015]
(A) $P(A \cup B) = 1 – P(A’)P(B’)$
(B) $P(A \cap B) = 1 – P(A’)P(B’)$
(C) $P(A \cup B) = 1 + P(A’)P(B’)$
(D) $P(A \cup B) = \frac{P(A’)}{P(B’)}$

58. रैखिक प्रोग्रामन समस्या में, सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिन्दुओं पर $Z$ का मान क्या कहलाता है? [BSEB, 2018 A]
(A) इष्टतम मान (Optimal value)
(B) शून्य मान
(C) ऋणात्मक मान
(D) इनमें से कोई नहीं

59. $P(E) = $ [BSEB, 2016 C, 2019 A]
(A) $n(E) + n(S)$
(B) $n(E) / n(S)$
(C) $n(S) / n(E)$
(D) $n(E) – n(S)$

60. व्यवरोधों $x + y \le 25, x \ge 0, y \ge 0$ के अंतर्गत $z = 6x + 3y$ का अधिकतम मान है : [BSEB, 2023 A]
(A) $150$
(B) $225$
(C) $425$
(D) इनमें से कोई नहीं

61. यदि घटना E का अनुकूल संयोगानुपात $a : b$ हो, तो $P(E) =$ [BSEB, 2018 C]
(A) $a / (a+b)$
(B) $b / (a+b)$
(C) $a / (a-b)$
(D) $a / (a+b)$

62. $\phi$ एक रिक्त घटना है, तो $P(\phi) = \dots$ [BSEB, 2020 A]
(A) $0$
(B) $1$
(C) $0.5$
(D) इनमें से कोई नहीं

63. यदि $P(A) = 3/8, P(B) = 1/3$ और $P(A \cap B) = 1/4$ तो $P(A’ \cap B’) =$ [BSEB, 2012]
(A) $13/24$
(B) $13/8$
(C) $13/9$
(D) $13/4$

64. $P(A \cup B) =$ [BSEB, 2016 C, 2019 A]
(A) $P(A) + P(B) + P(A \cap B)$
(B) $P(A) – P(B) – P(A \cap B)$
(C) $P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
(D) $P(A) – P(B) + P(A \cap B)$

65. एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है। कम से कम दो चित आने की प्रायिकता है : [BSEB, 2019 A]
(A) $1/4$
(B) $3/8$
(C) $1/2$
(D) $1/8$

66. यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों तो : [BSEB, 2016 A, 2018 A, 2019 C]
(A) $P(AB’) = P(A) \cdot P(B)$
(B) $P(AB’) = P(A) \cdot P(B’)$
(C) $P(AB) = P(A) + P(B)$
(D) $P(AB) = P(A) + P(B) + P(A \cap B)$

67. यदि $P(A) = 2/5, P(B) = 3/5, P(A \cup B) = 3/4$ तो $P(A/B) =$ [BSEB, 2017 C]
(A) $5/12$
(B) $5/8$
(C) $5/4$
(D) $5/7$

68. एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है। ठीक 7 चित आने की प्रायिकता है : [BSEB, 2021 A]
(A) ${}^{10}C_{7} (1/2)^{10}$
(B) ${}^{10}C_{7} (1/2)^{7}$
(C) ${}^{10}C_{7} (1/2)^{3}$
(D) इनमें से कोई नहीं

69. यदि $P(A) = 1/4, P(B) = 1/2, P(A \cup B) = 5/8$ तो $P(A \cap B) =$ [BSEB, 2017 C]
(A) $3/8$
(B) $1/8$
(C) $2/8$
(D) $5/8$

70. किसी असंभव घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ होती है : [BSEB, 2015 A]
(A) $1$
(B) $0$
(C) $0.5$
(D) इनमें से कोई नहीं

71. $P(A \cap B) = 0$ यदि घटनाएँ A और B हैं : [BSEB, 2018 C]
(A) स्वतंत्र
(B) परस्पर अपवर्जी
(C) परतंत्र
(D) इनमें से कोई नहीं

72. यदि $P(A) = 3/8, P(B) = 5/8, P(A \cup B) = 3/4$ तो $P(B/A) =$ [BSEB, 2021 A]
(A) $3/47$
(B) $5/49$
(C) $2/3$
(D) इनमें से कोई नहीं

73. यदि A’ तथा B’ स्वतंत्र घटनाएँ हों तो : [BSEB, 2018 A]
(A) $P(A’B’) = P(A’) + P(B’)$
(B) $P(A’B’) = P(A’) – P(B’)$
(C) $P(A’B’) = P(A’) \cdot P(B’)$
(D) $P(A’B’) = P(A’) / P(B’)$

74. यदि $P(A) = 1/3, P(B) = 1/4, P(A \cap B) = 1/5 \implies P(B/A) =$ [BSEB, 2024 A]
(A) $2/5$
(B) $3/5$
(C) $1/5$
(D) $4/5$

75. $P(A) = 7/11, P(B) = 9/11, P(A \cap B) = 4/11 \implies P(A/B) =$ [BSEB, 2023 A]
(A) $7/9$
(B) $4/9$
(C) $1$
(D) $13/22$

76. यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हों, $P(A) = 0.3$ तथा $P(B) = 0.4$ हो तो $P(A \cap B) =$ [BSEB, 2023 A]
(A) $0.12$
(B) $0.21$
(C) $0.75$
(D) $0.7$

77. $P(E) = 3/7, P(F) = 5/7, P(E \cup F) = 6/7 \implies P(E \cap F) =$ [BSEB, 2023 A]
(A) $4/7$
(B) $2/7$
(C) $1/7$
(D) $3/7$

78. यदि $P(A) = 0.4, P(B) = 0.8$ और $P(B/A) = 0.6$ तब $P(A/B) = \dots$ [BSEB, 2010]
(A) $0.3$
(B) $0.4$
(C) $0.5$
(D) $1/4$

79. यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हों तथा $P(A) = 1/2, P(A \cup B) = 3/5$ तथा $P(B) = p$ तो $p$ का मान है : [BSEB, 2022 A]
(A) $5$
(B) $1/5$
(C) $1/13$
(D) इनमें से कोई नहीं

80. यदि S कोई प्रतिदर्श समष्टि तथा E कोई घटना है तो घटना E की प्रायिकता $P(E) = \dots$ [BSEB, 2017 A]
(A) $n(E)/n(S)$
(B) $n(S)/n(E)$
(C) $n(E)$
(D) $n(S) \cdot n(E)$

81. एक पासा के फेंकने में यदि सम संख्या आती हो, तो उनके दो से अधिक होने की प्रायिकता है : [BSEB, 2018 C]
(A) $4$
(B) $3$
(C) $2/3$
(D) $1/3$

82. यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हों कि $P(A \cup B) = P(A)$ तो : [BSEB, 2018 C]
(A) $P(B/A) = 0$
(B) $P(A/B) = 0$
(C) $P(A/B) = 1$
(D) $P(B/A) = 1$

83. दो पासों में डिक (Doublet) आने की प्रायिकता है : [BSEB]
(A) $2/3$
(B) $1/6$
(C) $5/6$
(D) $5/36$

Bihar Board Class 12th के (Mathematics/गणित) = गणित भाग-1 (Hindi Medium) Book Chapter-10 रैखिक प्रोग्रामन के Exam 2026 MCQs Questions Answer Key