Class 12 Math Ch-3 आव्यूह MCQs Exam 2027

Class 12 Math Ch-3 आव्यूह MCQs Exam 2027 Details: नीचे दिए गए सभी Questions Bihar Board परीक्षा 2027 के लिए “Very Very Important Multiple Choice Questions (MCQs) Objective” (अत्यंत महत्वपूर्ण प्रश्न) हैं। इन सभी Class 12th के (Mathematics/गणित) = गणित भाग-1 (Hindi Medium) Book Chapter-3 आव्यूह का Questions का Solve का वीडियो Youtube और Website पर Upload किया है।

विषय 1: आव्यूह के मूल सिद्धांत, समानता और योग (Matrix Basics, Equality & Addition)

1. $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह (Square matrix) है यदि: (BSEB 2010, 2026)

(A) $m = n$

(B) $m < n$

(C) $m > n$

(D) इनमें से कोई नहीं

2. यदि एक आव्यूह में 18 अवयव (elements) हैं, तो इसकी संभव कोटियाँ (orders) कितनी हो सकती हैं? (BSEB 2026)

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) 5

3. $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, तो $x$ और $y$ का मान है: (BSEB 2026)

(A) $x = 2, y = 3$

(B) $x = 3, y = 2$

(C) $x = 0, y = 0$

(D) $x = 2, 3, y = 2$

4. $2\begin{bmatrix} x & y \\ l & m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, तो $x$ का मान है: (BSEB 2026)

(A) $1/2$

(B) $2$

(C) $1$

(D) $4$

5. यदि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, तो $kA = $ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} ka & b \\ c & d \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} ka & kb \\ c & d \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} k^2a & k^2b \\ k^2c & k^2d \end{bmatrix}$

6. $[x \quad y] = [2x – 1 \quad 7] \Rightarrow$ (BSEB 2024, 2026)

(A) $x = 3, y = 9$

(B) $x = 1, y = 9$

(C) $x = 0, y = 9$

(D) $x = 3, y = 4$

7. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -4 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2024, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & 8 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(D) इनमें से कोई नहीं

8. $5 \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2024, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 35 & 8 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 35 & 40 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 35 & 40 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 25 & 40 \end{bmatrix}$

9. $A = \begin{bmatrix} 9 & 10 & 11 \ 12 & 13 & 14 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 11 & 10 & 9 \ 8 & 7 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow A + B = $ (BSEB 2017, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 20 & 20 & 20 \\ 20 & 20 & 20 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 10 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 10 \end{bmatrix}$

(D) कोई नहीं

10. यदि $x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$, तो $x$ का मान है: (BSEB 2018, 2026)

(A) $x=3$

(B) $x=2$

(C) $x=1$

(D) $x=5$

11. यदि $2 \begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}$ तो $(x, y) =$ (BSEB 2019, 2026)

(A) $(2, 9)$

(B) $(3, 8)$

(C) $(2, 7)$

(D) $(9, 2)$

12. $[2a – 7 \quad 1] = [a \quad b – 1] \Rightarrow (a, b) =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $(1, 7)$

(B) $(2, 7)$

(C) $(7, 2)$

(D) $(2, 3)$

13. $\begin{bmatrix} x+y & 3 \\ 4 & x-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \Rightarrow (x, y)$ है: (BSEB 2026)

(A) $(-1, 2)$

(B) $(-1, -2)$

(C) $(-2, -1)$

(D) $(1, -2)$

14. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $I$ (इकाई आव्यूह)

(B) $O$ (शून्य आव्यूह)

(C) सभी अवयव 1

(D) सभी अवयव 2

15. $x \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2024, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} x & y \\ y & x \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} y & x \\ x & y \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} x & y \\ x & y \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$

16. यदि $A = \begin{bmatrix} 4\alpha & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ और $A=B$, तो $\alpha$ है: (BSEB 2021, 2026)

(A) 1

(B) -1

(C) 4

(D) इनमें से कोई नहीं

17. $[3 \quad 4 \quad 5] + [1 \quad 2 \quad 1] =$ (BSEB 2019, 2026)

(A) $[4 \quad 6 \quad 6]$

(B) $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{bmatrix}$

(C) $[4 \quad 6 \quad 4]$

(D) $[6 \quad 4 \quad 6]$

18. $A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 5 & -4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow 2A + 3B =$ (BSEB 2016, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 27 & 24 \\ 22 & 10 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 27 & 36 \\ 35 & 10 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 27 & 36 \\ 25 & 15 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 27 & 36 \\ 25 & 10 \end{bmatrix}$

19. यदि $A$ की कोटि $m \times n$ है और $B$ की कोटि $p \times q$ है, तो $A=B$ होगा यदि: (BSEB 2026)

(A) $m=p, n=q$

(B) $m=q, n=p$

(C) $m=n, p=q$

(D) कोई नहीं

20. एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना करें जिसके अवयव $a_{ij} = i+j$ हैं: (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

(D) कोई नहीं

21. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ तो $3A =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

(D) कोई नहीं

विषय 2: आव्यूह गुणन और घात (Matrix Multiplication & Powers)

22. गुणनफल $AB$ के परिभाषित होने की शर्त है: (BSEB 2018, 2026)

(A) A की पंक्तियाँ = B के स्तंभ

(B) A की पंक्तियाँ = B की पंक्तियाँ

(C) A के स्तंभ = B की पंक्तियाँ

(D) A के स्तंभ = B के स्तंभ

23. यदि $A$ कोटि $2 \times 3$ है और $B$ कोटि $3 \times 2$ है, तो $AB$ की कोटि है: (BSEB 2026)

(A) $3 \times 3$

(B) $2 \times 2$

(C) $2 \times 3$

(D) $3 \times 2$

24. $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [5 \quad 6] =$ (BSEB 2022, 2026)

(A) $[5 \quad 6]$

(B) $\begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

25. $[6 \quad 5] \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $[6 \quad -5]$

(B) $[-5 \quad 6]$

(C) $[1]$

(D) $[11]$

26. $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 12 \end{bmatrix}$

(C) $[20]$

(D) इनमें से कोई नहीं

27. $[1 \quad 2] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2019, 2026)

(A) $[5]$

(B) $\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$

(C) $[1 \quad 4]$

(D) कोई नहीं

28. $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $[19 \quad 45]$

(B) $\begin{bmatrix} 19 \\ 45 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 4 \\ 15 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 19 & 45 \end{bmatrix}$

29. $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 50 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2022, 2026)

(A) $[260 \quad 540]$

(B) $\begin{bmatrix} 260 \\ 540 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 10 \\ 500 \end{bmatrix}$

(D) कोई नहीं

30. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ तो $A^2$ है: (BSEB 2021, 2026)

(A) $27A$

(B) $2A$

(C) $3A$

(D) $I$

31. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ तो $A^2 =$ (BSEB 2016, 2026)

(A) $2A$

(B) $A$

(C) $\frac{1}{2}A$

(D) $4A$

32. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^3 =$ (BSEB 2026)

(A) $3A$

(B) $4A$

(C) $2A$

(D) कोई नहीं

33. यदि $A = [ 1, 2, 3, 4 ]$ और $B = [ 1, 2, 3, 4 ]^T$ तो $AB =$ (BSEB 2026)

(A) $[30]$

(B) $[10]$

(C) $[20]$

(D) $[40]$

34. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ तो $A^n =$ (BSEB 2018, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix}$

(C) $I$

(D) $O$

35. यदि $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$ तो $A^2 =$ (BSEB 2017, 2026)

(A) $I$

(B) $-I$

(C) $A$

(D) $O$

36. $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2 =$ (BSEB 2026)

(A) $I$

(B) $A$

(C) $O$

(D) स्वैप (Swapped)

37. यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, तो $A^5 =$ (BSEB 2024, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

(B) $I$

(C) $5A$

(D) $O$

38. $X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow X^8 =$ (BSEB 2022, 2026)

(A) $X$

(B) $X^2$

(C) $8X$

(D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

39. यदि $A$ की कोटि $3 \times 1$ है और $B$ की कोटि $1 \times 3$ है, तो $AB$ की कोटि है: (BSEB 2026)

(A) $3 \times 3$

(B) $1 \times 1$

(C) संभव नहीं

(D) $3 \times 1$

40. यदि $AB = 0$, तो इसका अर्थ है: (BSEB 2026)

(A) $A=0$ या $B=0$

(B) $A=0$ और $B=0$

(C) यह आवश्यक नहीं है कि $A=0$ या $B=0$

(D) $A=B$

41. $[-1] [-1] =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) [0]

(B) पंक्ति

(C) [1]

(D) स्वैप

42. यदि $A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ तो $\lambda$ है: (BSEB 2021, 2026)

(A) -1

(B) 1

(C) 4

(D) कोई वास्तविक मान नहीं

विषय 3: आव्यूह के प्रकार और तत्समक आव्यूह (Types of Matrices & Identity Matrix)

43. निम्नलिखित में से कौन सा $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह (Identity matrix) है? (BSEB 2019, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(D) कोई नहीं

44. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^{25} = $ (BSEB 2023, 2026)

(A) $A$

(B) $25A$

(C) $I$

(D) A और C दोनों

45. $A = I \Rightarrow A^{100} =$ (BSEB 2025, 2026)

(A) $100A$

(B) $101A$

(C) $A$

(D) $99A$

46. $\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2022, 2026)

(A) $I$

(B) $\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

(C) $O$

(D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

47. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2025, 2026)

(A) $I$

(B) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

(C) $A^2$

(D) $O$

48. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

(B) $I$

(C) $O$

(D) कोई नहीं

49. $[13 \quad 15] \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} =$ (BSEB 2023, 2026)

(A) $[13 \quad 15]$

(B) $[2 \quad 2]$

(C) $[26 \quad 30]$

(D) कोई नहीं

50. यदि $A = I$ और $B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, तो $AB =$ (BSEB 2026)

(A) $B$

(B) $I$

(C) $O$

(D) $A$

51. किसी भी तत्समक आव्यूह $I$ के लिए: (BSEB 2015, 2026)

(A) $I^2 = I$

(B) $|I| = 0$

(C) $|I| = 2$

(D) $|I| = 5$

52. वह विकर्ण आव्यूह (Diagonal matrix) जिसके सभी विकर्ण अवयव समान हों, कहलाता है: (BSEB 2026)

(A) अदिश आव्यूह (Scalar matrix)

(B) तत्समक आव्यूह

(C) इकाई आव्यूह

(D) कोई नहीं

53. केवल एक पंक्ति वाले आव्यूह को कहा जाता है: (BSEB 2026)

(A) पंक्ति आव्यूह (Row matrix)

(B) स्तंभ आव्यूह

(C) वर्ग आव्यूह

(D) शून्य आव्यूह

54. यदि किसी आव्यूह के सभी अवयव शून्य हों, तो वह है: (BSEB 2026)

(A) रिक्त आव्यूह (Null matrix)

(B) तत्समक आव्यूह

(C) अदिश आव्यूह

(D) पंक्ति आव्यूह

55. प्रविष्टियाँ 0 या 1 के साथ $3 \times 3$ आव्यूहों की संख्या है: (BSEB 2020, 2026)

(A) 27

(B) 18

(C) 81

(D) 512

विषय 4: परिवर्त, सममित और विषम-सममित (Transpose, Symmetric & Skew-Symmetric)

56. $A = [a_{ij}]_{m \times n}$, तो $A’$ (परिवर्त) की कोटि है: (BSEB 2012, 2026)

(A) $m \times n$

(B) $n \times m$

(C) $m \times m$

(D) $n \times n$

57. $A = [4 \quad 2 \quad 3] \Rightarrow A’ = $ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(B) $[2 \quad 3 \quad 4]$

(C) $[3 \quad 2 \quad 4]$

(D) $[4 \quad 3 \quad 2]$

58. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow A’ =$ (BSEB 2025, 2026)

(A) $[3 \quad 2 \quad 1]$

(B) $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(C) समान

(D) $O$

59. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow A’ =$ (BSEB 2019, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

(C) धनात्मक

(D) ऋणात्मक

60. $\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ का परिवर्त है: (BSEB 2022, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} -5 & 1 \\ -6 & -7 \end{bmatrix}$

(C) समान

(D) कोई नहीं

61. एक वर्ग आव्यूह $A$ सममित (Symmetric) है यदि: (BSEB 2020, 2026)

(A) $A = A’$

(B) $A = -A’$

(C) $A = I$

(D) $A = O$

62. एक वर्ग आव्यूह $A$ विषम-सममित (Skew-symmetric) है यदि: (BSEB 2020, 2026)

(A) $A’ = A$

(B) $A’ = -A$

(C) $A = I$

(D) $A = 0$

63. यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो $A + A’$ एक है: (BSEB 2026)

(A) सममित आव्यूह

(B) विषम-सममित आव्यूह

(C) इकाई आव्यूह

(D) शून्य आव्यूह

64. यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है तो $A – A’$ है: (BSEB 2026)

(A) सममित

(B) विषम-सममित

(C) शून्य

(D) तत्समक

65. यदि $A$ और $B$ सममित हैं, तो $AB – BA$ एक है: (BSEB 2020, 2026)

(A) विषम-सममित आव्यूह

(B) सममित आव्यूह

(C) शून्य आव्यूह

(D) तत्समक आव्यूह

66. $(AB)’ =$ (BSEB 2012, 2026)

(A) $B’A’$

(B) $A’B’$

(C) $AB’$

(D) $A’B$

67. $(A’)’ = $ (BSEB 2026)

(A) $A’$

(B) $-A$

(C) $A$

(D) $I$

68. आव्यूह $\begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$ है: (BSEB 2026)

(A) सममित

(B) विषम-सममित

(C) तत्समक

(D) शून्य

69. प्रत्येक वर्ग आव्यूह को सममित और विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: (BSEB 2026)

(A) सत्य

(B) असत्य

(C) केवल कोटि 2 के लिए

(D) केवल कोटि 3 के लिए

70. यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ और $A + A’ = I$, तो $\alpha$ का मान है: (BSEB 2021, 2026)

(A) $\pi/6$

(B) $\pi$

(C) $\pi/3$

(D) $3\pi/2$

विषय 5: व्युत्क्रम और सहखंडज आव्यूह (Inverse & Adjoint of Matrix)

71. यदि $A$ की कोटि $n$ है, तो $A(adj A) = (adj A)A = $ (BSEB 2026)

(A) $|A|I$

(B) $I$

(C) $O$

(D) $|A|$

72. यदि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, तो $adj A$ है: (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} a & -c \\ b & d \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

73. आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का सहखंडज (Adjoint) है: (BSEB 2023, 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$

74. यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ तो $adj A =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

(D) इनमें से कोई नहीं

75. यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो $A^{-1} =$ (BSEB 2026)

(A) $\frac{1}{|A|} adj A$

(B) $|A| adj A$

(C) $adj A$

(D) $\frac{1}{adj A}$

76. यदि $A^2 – A + I = 0$, तो $A^{-1} = $ (BSEB 2026)

(A) $A – I$

(B) $I – A$

(C) $A + I$

(D) $A$

77. यदि $A$ एक $2 \times 2$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो $|A^{-1}|$ है: (BSEB 2026)

(A) $|A|$

(B) $1/|A|$

(C) 1

(D) 0

78. $3 \times 3$ आव्यूह के लिए $|adj A|$ का मान: (BSEB 2020, 2026)

(A) $|A|$

(B) $|A|^2$

(C) $|A|^3$

(D) $3|A|$

79. $A$ अव्युत्क्रमणीय (Singular) है यदि: (BSEB 2026)

(A) $|A| = 0$

(B) $|A| \neq 0$

(C) $A = I$

(D) $A = O$

80. $(AB)^{-1} =$ (BSEB 2026)

(A) $B^{-1}A^{-1}$

(B) $A^{-1}B^{-1}$

(C) $AB$

(D) $A^{-1}B$

81. यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & k \end{bmatrix}$ का कोई व्युत्क्रम नहीं है, तो $k$ है: (BSEB 2015, 2026)

(A) $15/2$

(B) $2/15$

(C) 5

(D) 3

82. $I$ का व्युत्क्रम (Inverse) है: (BSEB 2026)

(A) $I$

(B) $O$

(C) $-I$

(D) $2I$

83. यदि $A$ सममित है, तो $A^{-1}$ है: (BSEB 2026)

(A) सममित

(B) विषम-सममित

(C) तत्समक

(D) कोई नहीं

84. $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

(C) $I$

(D) $O$

विषय 6: सारणिक गणना (Determinants Calculation)

85. $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) 1

(B) 0

(C) 3

(D) 2

86. सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \\ 4 & 9 & 13 \end{vmatrix}$ का मान है: (BSEB 2026)

(A) 20

(B) 0

(C) -20

(D) 10

87. $\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 30 & 6 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2021, 2026)

(A) 0

(B) 60

(C) 120

(D) 10

88. $\begin{vmatrix} x & 8 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow x =$ (BSEB 2026)

(A) 8

(B) 3

(C) 0

(D) 24

89. $\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} =$ (BSEB 2021, 2026)

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) $\cos 2\theta$

90. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 7 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2024, 2026)

(A) 21

(B) 0

(C) 15

(D) 10

91. $\begin{vmatrix} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{vmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) 0

(B) 1

(C) $a+b+c$

(D) $3abc$

92. $\begin{vmatrix} 7 & 11 & 13 \\ 17 & 19 & 23 \\ 29 & 31 & 37 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2022, 2026)

(A) 0

(B) 36

(C) 120

(D) -144

93. यदि $A$ कोटि $3 \times 3$ है, तो $|3A| =$ (BSEB 2026)

(A) $3|A|$

(B) $9|A|$

(C) $27|A|$

(D) $|A|$

94. विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक होता है: (BSEB 2026)

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

95. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2020, 2026)

(A) $(a-b)(b-c)(c-a)$

(B) 0

(C) 1

(D) $a+b+c$

96. $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) -2

(B) 2

(C) 0

(D) 22

97. $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix} \Rightarrow x =$ (BSEB 2021, 2026)

(A) 6

(B) $\pm 6$

(C) 0

(D) -6

98. $\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 35 & 7 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) 0

(B) 140

(C) 70

(D) 10

99. $\begin{vmatrix} \sin 10 & -\cos 10 \\ \sin 80 & \cos 80 \end{vmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) $1/2$

100. यदि एक सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हैं, तो इसका मान है: (BSEB 2026)

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

101. यदि $A$ की कोटि $2 \times 3$ है, तो $A$ में अवयवों की संख्या है: (BSEB 2026)

(A) 6

(B) 5

(C) 2

(D) 3

102. आव्यूह $A = [5]$ है: (BSEB 2026)

(A) $1 \times 1$ आव्यूह

(B) वर्ग आव्यूह

(C) A और B दोनों

(D) कोई नहीं

103. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A$ है: (BSEB 2026)

(A) तत्समक आव्यूह

(B) इकाई आव्यूह

(C) अदिश आव्यूह

(D) ये सभी

104. एक वर्ग आव्यूह के विकर्ण अवयवों का योग कहलाता है: (BSEB 2026)

(A) ट्रेस (Trace)

(B) सारणिक

(C) सहखंडज

(D) व्युत्क्रम

105. $I_{2}$ आव्यूह है: (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(C) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

(D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

106. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^2 =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(C) $I$

(D) $O$

107. अदिश गुणन $k(A+B) =$ (BSEB 2026)

(A) $kA + kB$

(B) $kAB$

(C) $A + kB$

(D) $kA + B$

108. कौन सा सत्य है? (BSEB 2026)

(A) $AB, BA$ के बराबर नहीं हो सकता

(B) हमेशा $AB = BA$

(C) हमेशा $(AB)C = A(BC)$

(D) A और C दोनों

109. यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$, तो $A^2 =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

(B) $I$

(C) $O$

(D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

110. किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, $A \cdot A^{-1} =$ (BSEB 2026)

(A) $I$

(B) $A$

(C) $O$

(D) $A^2$

111. यदि $|A| = 5$, तो $|A^T| =$ (BSEB 2026)

(A) 5

(B) -5

(C) $1/5$

(D) 0

112. सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ में अवयव 4 का उपसारणिक (Minor) है: (BSEB 2026)

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

113. सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ में अवयव 1 का सहखंड (Cofactor) है: (BSEB 2026)

(A) 4

(B) -4

(C) 3

(D) -3

114. यदि $A$ कोटि $3 \times 3$ है और $|A| = 4$, तो $|adj A| =$ (BSEB 2026)

(A) 16

(B) 64

(C) 4

(D) 12

115. आव्यूह गुणन योग पर वितरक (Distributive) होता है: (BSEB 2026)

(A) सत्य

(B) असत्य

(C) केवल वर्ग आव्यूहों के लिए

(D) कोई नहीं

116. यदि $A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$, तो $A^n =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} a^n & 0 \\ 0 & a^n \end{bmatrix}$

(B) $na$

(C) $A$

(D) $I$

117. $(A+B)^T =$ (BSEB 2026)

(A) $A^T + B^T$

(B) $B^T + A^T$

(C) A और B दोनों

(D) $A^T B^T$

118. सारणिक का उपयोग करके शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 है यदि: (BSEB 2026)

(A) बिंदु संरेख (Collinear) हैं

(B) बिंदु एक वृत्त बनाते हैं

(C) बिंदु मूल बिंदु (Origin) हैं

(D) कोई नहीं

119. $\begin{vmatrix} 1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w \end{vmatrix} =$ (जहाँ $w$ इकाई का घनमूल है) (BSEB 2026)

(A) 0

(B) 1

(C) $w$

(D) $w^2$

120. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, तो $|2A| =$ (BSEB 2026)

(A) -8

(B) -2

(C) -4

(D) 8

121. $I_3$ का सहखंडज (Adjoint) है: (BSEB 2026)

(A) $I_3$

(B) $O$

(C) $3I_3$

(D) कोई नहीं

122. यदि $A$ विषम-सममित है, तो विकर्ण अवयव होते हैं: (BSEB 2026)

(A) सभी 0

(B) सभी 1

(C) कोई भी मान

(D) सभी ऋणात्मक

123. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =$ (BSEB 2026)

(A) $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

(B) $\begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix}$

(C) $[x \quad y]$

(D) कोई नहीं

124. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, तो $A^2 =$ (BSEB 2026)

(A) $2A$

(B) $A$

(C) $I$

(D) $O$

125. कोटि $2 \times 2$ के सभी संभव आव्यूहों की संख्या जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है, होगी: (BSEB 2026)

(A) 16

(B) 8

(C) 4

(D) 2

 Bihar Board Class 12th के (Mathematics/गणित) = गणित ‘भाग-1 (Hindi Medium) Book Chapter-3 आव्यूह के Exam 2027 MCQs Questions Answer Key