Class 12 Math Ch-4 Determinant MCQs Exam 2027

Topic 1: Matrices – Basics & Operations

1. A matrix $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ is a square matrix if: [2026]

   (A) $m < n$

   (B) $m > n$

   (C) $m = n$

   (D) None of these

2. $3 \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} =$ [2023 A]

   (A) $\begin{bmatrix} 21 & -6 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 21 & -6 \\ 24 & 0 \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 24 & 0 \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 21 & -2 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

3. $2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} =$ [2022 A]

   (A) $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$

4. $5 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} =$ [2023 A]

   (A) $\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 3 & 20 \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

5. $3 \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} =$ [2022 A]

   (A) $\begin{bmatrix} 15 & 18 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 21 & 24 \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} 15 & 18 \\ 21 & 24 \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 15 & 6 \\ 21 & 8 \end{bmatrix}$

6. $3 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} =$ [2019 C]

   (A) $\begin{bmatrix} 3a & 3b \\ c & d \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 3a & 3b \\ 3c & d \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} a & 3b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 3a & 3b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}$

7. If $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, then $k A =$ [2026]

   (A) $\begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} ka & b \\ c & d \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} ka & kb \\ c & d \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} k^2a & k^2b \\ k^2c & k^2d \end{bmatrix}$

8. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} =$ [2019 C]

   (A) $\begin{bmatrix} a & 2b \\ 3c & 4d \end{bmatrix}$

   (B) $\begin{bmatrix} 1+a & 2+b \\ 3+c & 4+d \end{bmatrix}$

   (C) $\begin{bmatrix} 1+a & 2b \\ 3+c & 4d \end{bmatrix}$

   (D) $\begin{bmatrix} 1+a & 2+b \\ 3c & 4+d \end{bmatrix}$

9. If $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, then: [2026]

   (A) $x = 2, y = 3$

   (B) $x = 3, y = 2$

   (C) $x = 0, y = 0$

   (D) $x = 2, 3, y = 2$

10. If $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$, then $x$ and $y$ are: [2026]

    (A) $x=2, y=3$

    (B) $x=2, y=-3$

    (C) $x=-2, y=3$

    (D) $x=0, y=0$

11. If $2\begin{bmatrix} x & y \\ l & m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, then the value of $x$ is: [2026]

    (A) $1/2$

    (B) $2$

    (C) $1$

    (D) $4$

12. $2 \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 10 & 5 \end{bmatrix}$ then $(x, y) =$ [2026]

    (A) $(2, -8)$

    (B) $(-2, 8)$

    (C) $(3, -6)$

    (D) $(0, 0)$

Topic 2: Multiplication of Matrices

13. If $A = [1 \quad 2]$, $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, then $AB =$ [2026]

    (A) $[11]$

    (B) $\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$

    (C) $[7]$

    (D) $\begin{bmatrix} 11 \end{bmatrix}$

14. If $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, then $A^{25} =$ [2026]

    (A) $A$

    (B) $25A$

    (C) $I$

    (D) Both A and C

15. If $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, then $A^n =$ [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

    (B) $\begin{bmatrix} n & n \\ 0 & n \end{bmatrix}$

    (C) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

    (D) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

16. If $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$, then $A^2 =$ [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

    (B) $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

    (C) $\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$

    (D) $\begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

17. If $A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ where $A^2 = B$, then the value of $\lambda$ is: [2026]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $4$

    (D) No real value of $\lambda$ exists

Topic 3: Transpose, Symmetric & Skew-Symmetric Matrices

18. $A = [4 \quad 2 \quad 3] \Rightarrow A’ = $ [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

    (B) $[2 \quad 3 \quad 4]$

    (C) $[3 \quad 2 \quad 4]$

    (D) $[4 \quad 3 \quad 2]$

19. If $A$ is a square matrix, then $A + A’$ is a: [2026]

    (A) Symmetric matrix

    (B) Skew-symmetric matrix

    (C) Unit matrix

    (D) Null matrix

20. If $A$ and $B$ are symmetric matrices, then $AB – BA$ is a: [2026]

    (A) Skew-symmetric matrix

    (B) Symmetric matrix

    (C) Null matrix

    (D) Identity matrix

21. If $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$, then the value of $A + A’$ is: [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$

    (B) $\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 10 \end{bmatrix}$

    (C) $\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$

    (D) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

22. If $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ and $A + A’ = I$, then the value of $\alpha$ is: [2026]

    (A) $\pi/6$

    (B) $\pi/3$

    (C) $\pi$

    (D) $3\pi/2$

23. If $A$ is a skew-symmetric matrix, then the elements of its principal diagonal are: [2026]

    (A) All $1$

    (B) All $0$

    (C) Any number

    (D) All equal

24. The matrix $\begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ is a ____ matrix. [2026]

    (A) Symmetric

    (B) Skew-symmetric

    (C) Scalar

    (D) Unit

Topic 4: Value of Determinants (2×2 & 3×3)

25. The value of $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ is: [2021 A]

    (A) $ab – cd$

    (B) $ac – bd$

    (C) $ad – bc$

    (D) $bd – ac$

26. $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} =$ [2023 A, 2026]

    (A) $-2$

    (B) $2$

    (C) $0$

    (D) $-1$

27. $\begin{vmatrix} 10 & 4 \\ 13 & 5 \end{vmatrix} =$ [2025 A]

    (A) $102$

    (B) $2$

    (C) $-2$

    (D) $-102$

28. $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 16 & 20 \end{vmatrix} =$ [2019 C]

    (A) $160$

    (B) $80$

    (C) $-160$

    (D) $0$

29. $\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 35 & 7 \end{vmatrix} =$ [2017 A, 2021 A]

    (A) $4$

    (B) $0$

    (C) $3$

    (D) $6$

30. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} =$ [2024 A]

    (A) $16$

    (B) $0$

    (C) $8$

    (D) $-8$

31. $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $0$

    (B) $8$

    (C) $4$

    (D) $6$

32. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $0$

    (B) $12$

    (C) $6$

    (D) $-6$

33. $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} =$ [2017 C]

    (A) $0$

    (B) $15$

    (C) $-18$

    (D) $18$

34. $\begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix} =$ [2020 A, 2024 A]

    (A) $1$

    (B) $0$

    (C) $2$

    (D) $-1$

35. $\begin{vmatrix} a + ib & c + id \\ -c + id & a – ib \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

    (B) $a^2 – b^2 – c^2 – d^2$

    (C) $a^2 – b^2 + c^2 + d^2$

    (D) $a^2 + b^2 + c^2 – d^2$

36. $\begin{vmatrix} \sin 10^\circ & -\cos 10^\circ \\ \sin 80^\circ & \cos 80^\circ \end{vmatrix} =$ [2025 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $-1$

    (D) $0.5$

37. $\begin{vmatrix} \sin 20^\circ & -\cos 20^\circ \\ \sin 70^\circ & \cos 70^\circ \end{vmatrix} =$ [2024 A]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $0$

    (D) $2$

38. $\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} =$ [2019 A, 2022 A]

    (A) $0$

    (B) $-1$

    (C) $1$

    (D) $\cos 2\theta$

39. $\begin{vmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{vmatrix} =$ [2025 A]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $0$

    (D) $2$

40. $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ [2022 A, 2026]

    (A) $3$

    (B) $0$

    (C) $1$

    (D) $2$

41. $\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $a+b+c$

    (B) $0$

    (C) $abc$

    (D) $1$

42. $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} =$ [2016 A]

    (A) $40$

    (B) $0$

    (C) $3$

    (D) $25$

43. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} =$ [2016 C]

    (A) $0$

    (B) $12$

    (C) $24$

    (D) $5$

44. $\begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} =$ [2024 A]

    (A) $0$

    (B) $46$

    (C) $-46$

    (D) $1$

45. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} =$ [2024 A]

    (A) $1$

    (B) $0$

    (C) $-1$

    (D) $2$

46. $\begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} =$ [2022 A]

    (A) $12$

    (B) $24$

    (C) $28$

    (D) $-28$

47. $\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ 5 & 7 & -2 \end{vmatrix} =$ [2022 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $-1$

    (D) $19$

48. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \\ 4 & 9 & 13 \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) 20

    (B) 0

    (C) -20

    (D) 10

49. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} =$ [2019 A]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $0$

    (D) $2$

50. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 5 & 4 & 1 \\ 7 & 6 & 1 \end{vmatrix} =$ [2023 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $-1$

    (D) $12$

51. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{vmatrix} =$ [2024 A]

    (A) $2$

    (B) $1$

    (C) $0$

    (D) $-1$

52. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 4 & 9 & 17 \\ 5 & 10 & 22 \end{vmatrix} =$ [2023 A]

    (A) $264$

    (B) $0$

    (C) $1221$

    (D) $1$

53. $\begin{vmatrix} 3 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} =$ [2025 A]

    (A) $0$

    (B) $12$

    (C) $4\sqrt{3}$

    (D) $3 – 4\sqrt{3}$

54. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $1$

    (B) $0$

    (C) $-1$

    (D) $9$

55. The value of the determinant $\begin{vmatrix} 7 & 11 & 13 \\ 17 & 19 & 23 \\ 29 & 31 & 37 \end{vmatrix}$ is: [2021 A, 2026]

    (A) $-36$

    (B) $36$

    (C) $120$

    (D) $0$

56. If $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 8 \end{vmatrix}$, then the value of $\Delta$ is: [2020 A]

    (A) $-15$

    (B) $15$

    (C) $0$

    (D) $7$

Topic 5: Properties of Determinants

57. The value of any determinant having two rows (or columns) identical is: [2017 C]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $0$

    (D) None

58. $\begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix} =$ [2016 C, 2021 A]

    (A) $1$

    (B) $-1$

    (C) $0$

    (D) $(a+b+c)$

59. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix} =$ [2018 A, 2024 A]

    (A) $0$

    (B) $(a-b)(b-c)(c-a)$

    (C) $a+b+c$

    (D) $1$

60. $\begin{vmatrix} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{vmatrix} = ?$ [2020 A]

    (A) $0$

    (B) $(a-b)(b-c)(c-a)$

    (C) $a^2 + b^2 + c^2$

    (D) None

61. $\begin{vmatrix} 23 & 12 & 11 \\ 36 & 10 & 26 \\ 63 & 26 & 37 \end{vmatrix} =$ [2023 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $-1$

    (D) $100$

62. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} =$ [2016 C]

    (A) $5$

    (B) $17$

    (C) $8$

    (D) $0$

63. $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =$ [2022 A]

    (A) $2$

    (B) $0$

    (C) $-2$

    (D) $1$

64. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix} =$ [2017 A]

    (A) $5$

    (B) $7$

    (C) $0$

    (D) $9$

65. $\begin{vmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 6 & -8 & -2 \\ 3 & 5 & 8 \end{vmatrix} =$ [2022 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $-13$

    (D) $23$

66. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \\ 4 & 8 & 16 \end{vmatrix} =$ [2021 A]

    (A) $23$

    (B) $0$

    (C) $1$

    (D) None

67. If $a, b, c$ are in Arithmetic Progression (A.P.), then the value of $\begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{vmatrix}$ is: [2018 A, 2020 A]

    (A) $4$

    (B) $0$

    (C) $-3$

    (D) $abc$

68. $\begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+3 \\ x+2 & x+3 & x+4 \\ x+3 & x+4 & x+5 \end{vmatrix} =$ [Practice Set]

    (A) $(x-3)^2$

    (B) $0$

    (C) $-(3x-6)^2$

    (D) $1$

69. $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc \\ 1 & b & b^2-ca \\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix} =$ [Practice Set]

    (A) $abc$

    (B) $ab + bc + ca$

    (C) $0$

    (D) $(a-b)(b-c)(c-a)$

70. If $x, y, z$ are real numbers and $x=y=z=5$, then $\begin{vmatrix} x & 5 & 5 \\ 5 & y & 5 \\ 5 & 5 & z \end{vmatrix} =$ [2023 A]

    (A) $125$

    (B) $25$

    (C) $0$

    (D) $5$

71. $\begin{vmatrix} 1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w \end{vmatrix} =$ [2020 A]

    (A) $0$

    (B) $1$

    (C) $w$

    (D) $w^2$

72. If $\omega \neq 1, \omega^3 = 1$ and $\begin{vmatrix} x+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x+\omega \end{vmatrix} = 0$, then $x =$ [2021 A]

    (A) $0$

    (B) $\omega$

    (C) $\omega^2$

    (D) $1$

73. $\begin{vmatrix} 1/a & 1 & bc \\ 1/b & 1 & ca \\ 1/c & 1 & ab \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $0$

    (B) $abc$

    (C) $1/abc$

    (D) $1$

74. If all elements of a $3 \times 3$ determinant are multiplied by $k$, then the value of the determinant changes to: [2026]

    (A) $k\Delta$

    (B) $k^2\Delta$

    (C) $k^3\Delta$

    (D) $3k\Delta$

75. The expansion of $\begin{vmatrix} \log a & \log b \\ \log c & \log d \end{vmatrix}$ is: [2026]

    (A) $\log(ad) – \log(bc)$

    (B) $\log a \cdot \log d – \log b \cdot \log c$

    (C) $\log(a+d) – \log(b+c)$

    (D) $0$

76. $2 \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =$ [2019 C]

    (A) $\begin{vmatrix} 2a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

    (B) $\begin{vmatrix} a & 2b \\ c & d \end{vmatrix}$

    (C) $\begin{vmatrix} a & b \\ 2c & d \end{vmatrix}$

    (D) $\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{vmatrix}$

Topic 6: Solving for Variables

77. $\begin{vmatrix} x & 15 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow x =$ [2025 A]

    (A) $15$

    (B) $-15$

    (C) $12$

    (D) $60$

78. If $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}$, then the value of $x$ is: [2020 A, 2024 A]

    (A) $6$

    (B) $\pm 6$

    (C) $-1$

    (D) $6, 6$

79. If $\begin{vmatrix} x & 5 \\ 5 & x \end{vmatrix} = 0$, then $x =$ [2017 A]

    (A) $\pm 5$

    (B) $6$

    (C) $0$

    (D) $4$

80. If $\begin{vmatrix} x & 8 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$, then the value of $x$ is: [2024 A]

    (A) $3$

    (B) $8$

    (C) $24$

    (D) $0$

81. If $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix}$, then $x =$ [2017 C]

    (A) $\pm 2$

    (B) $\pm \sqrt{3}$

    (C) $\pm \sqrt{3}$

    (D) $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

82. If $7$ and $2$ are two roots of the equation $\begin{vmatrix} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{vmatrix} = 0$, then the third root will be: [2011]

    (A) $-9$

    (B) $14$

    (C) $\frac{1}{2}$

    (D) None

83. If $\begin{vmatrix} 2+x & 2 & x \\ 2-x & 2 & x \\ 2-x & 2 & -x \end{vmatrix} = 0$, then $x =$ [BSEB Pattern]

    (A) $0$

    (B) $2$

    (C) $3$

    (D) $4$

Topic 7: Adjoint & Inverse Matrices

84. If $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$, then $|2A| =$ [2011 A, 2021 A]

    (A) $2|A|$

    (B) $4|A|$

    (C) $8|A|$

    (D) None of these

85. If $A$ is a square matrix of order $3 \times 3$, then the value of $|adj \, A|$ is: [2021 A]

    (A) $|A|$

    (B) $|A|^2$

    (C) $|A|^3$

    (D) $3|A|$

86. If $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, then $adj A =$ [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

    (B) $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

    (C) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

    (D) $\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$

87. If $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, then $adj A$ is: [2026]

    (A) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

    (B) $\begin{bmatrix} d & b \\ c & a \end{bmatrix}$

    (C) $\begin{bmatrix} a & -c \\ b & d \end{bmatrix}$

    (D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

88. If $A$ is an invertible matrix (order $2 \times 2$), then $det(A^{-1}) =$ [2021 A]

    (A) $det(A)$

    (B) $1/det(A)$

    (C) $1$

    (D) $0$

89. If $A$ is a non-singular matrix, then $|A^{-1}| =$ [2026]

    (A) $|A|$

    (B) $1/|A|$

    (C) 1

    (D) 0

90. The condition to find the Inverse of a matrix is that $|A|$ should be: [2026]

    (A) $= 0$

    (B) $\neq 0$

    (C) $> 0$

    (D) $< 0$

91. If $A^2 – A + I = 0$, then $A^{-1} = $ [2026]

    (A) $A – I$

    (B) $I – A$

    (C) $A + I$

    (D) $A$

92. If $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ and $A_{ij}$ is the cofactor of $a_{ij}$, then the value of $\Delta$ is: [2021 A]

    (A) $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$

    (B) $a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31}$

    (C) $a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13}$

    (D) $a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}$

Topic 8: Special Determinants & Expansion

93. $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} =$ [2016 A]

    (A) $(a+b)(b+c)(c+a)$

    (B) $(a+b)(b-c)(c-a)$

    (C) $(a-b)(b-c)(c+a)$

    (D) $(a-b)(b-c)(c-a)$

94. $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} =$ [2015]

    (A) $(x – y)(y + z)(z + x)$

    (B) $(x + y)(y – z)(z – x)$

    (C) $(x – y)(y – z)(z + x)$

    (D) $(x – y)(y – z)(z – x)$

95. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $(a-b)(b-c)(c-a)$

    (B) $(a+b)(b+c)(c+a)$

    (C) $a+b+c$

    (D) $0$

96. $\begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix} =$ [2012 A]

    (A) $(a-b)(b-c)(c-a)$

    (B) $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

    (C) $0$

    (D) $(a+b+c)$

97. $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 0 & \cos x & \sin y \\ 0 & \sin x & \cos y \end{vmatrix} =$ [2026]

    (A) $\cos(x+y)$

    (B) $\cos(x-y)$

    (C) $\sin(x+y)$

    (D) $1$

98. If $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, then $A^{25} = $ [2026]

    (A) $A$

    (B) $25A$

    (C) $I$

    (D) Both A and C

99. $\begin{vmatrix} \sin 80^\circ & -\cos 80^\circ \\ \sin 10^\circ & \cos 10^\circ \end{vmatrix}$ [2026]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) -1

    (D) 0.5

100. $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ [2026]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) 3

     (D) 2