Class 12 Math Ch-6 अवकलज के अनुप्रयोग MCQs Exam 2027

Topic 1: राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Quantities)

1. किसी वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष क्या होगी, जब $r = 6$ cm है: 2021, 2023

(A) $10\pi$

(B) $12\pi$

(C) $8\pi$

(D) $11\pi$

2. एक गोलाकार गुब्बारा $35 \text{ cc/min}$ की दर से फुलाया जा रहा है। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि की दर क्या होगी जब त्रिज्या $14$ cm हो: 2016, 2024

(A) $5 \text{ sq. cm/min}$

(B) $10 \text{ sq. cm/min}$

(C) $2.5 \text{ sq. cm/min}$

(D) $1 \text{ sq. cm/min}$

3. एक वृत्त की त्रिज्या $0.7 \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि के बढ़ने की दर क्या होगी? 2021

(A) $1.4\pi \text{ cm/s}$

(B) $0.7\pi \text{ cm/s}$

(C) $0.4\pi \text{ cm/s}$

(D) इनमें से कोई नहीं

4. एक घन का आयतन $9 \text{ cm}^3\text{/s}$ की दर से बढ़ रहा है। जब इसके किनारे की लंबाई $10 \text{ cm}$ हो, तो इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर क्या होगी? 2022

(A) $3.6 \text{ cm}^2\text{/s}$

(B) $4 \text{ cm}^2\text{/s}$

(C) $1.8 \text{ cm}^2\text{/s}$

(D) $2 \text{ cm}^2\text{/s}$

5. गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है, तो $r$ के सापेक्ष इसमें परिवर्तन की दर होगी: 2019

(A) $4\pi r^2$

(B) $2\pi r$

(C) $4\pi r$

(D) $3\pi r^2$

6. एक वर्ग की भुजा $3 \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है। जब भुजा $10 \text{ cm}$ हो, तो क्षेत्रफल किस दर से बढ़ेगा? 2022

(A) 30

(B) 60

(C) 90

(D) 100

7. किसी वृत्त की त्रिज्या $3 \text{ cm}$ है। $r$ के सापेक्ष इसके क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर होगी: 2021

(A) $6\pi$

(B) $3\pi$

(C) $9\pi$

(D) $2\pi$

8. एक शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ है। यदि $h$ अचर (constant) हो, तो $dV/dr$ होगा: 2023

(A) $\frac{2}{3}\pi rh$

(B) $\pi r^2$

(C) $\frac{1}{3}\pi r^2$

(D) इनमें से कोई नहीं

9. बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ है। $dS/dr$ क्या होगा? 2021

(A) $2\pi h + 4\pi r$

(B) $2\pi h$

(C) $4\pi r$

(D) $2\pi r$

10. गोले के आयतन में परिवर्तन की दर क्या होगी जब त्रिज्या $r=2$ मात्रक हो: 2024

(A) $16\pi$

(B) $8\pi$

(C) $4\pi$

(D) $32\pi$

11. वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। $dA/dt$ ज्ञात करें जब $r=5$ और $dr/dt=2$: 2022

(A) $20\pi$

(B) $10\pi$

(C) $5\pi$

(D) $25\pi$

12. गोले की त्रिज्या $r=7 \text{ cm}$ है। आयतन की गणना में त्रुटि क्या होगी यदि त्रिज्या में त्रुटि $0.1 \text{ cm}$ है: 2018

(A) $19.6\pi$

(B) $4.9\pi$

(C) $3.6\pi$

(D) इनमें से कोई नहीं

13. वृत्त की परिधि में त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर है: 2023

(A) $2\pi$

(B) $\pi$

(C) $2$

(D) $4\pi$

14. वृत्त का क्षेत्रफल $2 \text{ cm}^2\text{/s}$ की दर से बढ़ता है। $r=4$ पर त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात करें: 2020

(A) $1/4\pi$

(B) $1/2\pi$

(C) $\pi/4$

(D) $4/\pi$

15. $x=3$ पर $y = \sqrt{x^2+16}$ के परिवर्तन की दर $x$ के सापेक्ष है: 2021

(A) 3/5

(B) 4/5

(C) 1

(D) 0

16. वृत्त की त्रिज्या $3 \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है। $r=10$ पर क्षेत्रफल की दर: 2022

(A) $60\pi$

(B) $30\pi$

(C) $100\pi$

(D) $3\pi$

17. विस्थापन $s = t^2 – 4t + 3$ है। त्वरण (Acceleration) का मान होगा: 2024

(A) 2

(B) $2t-4$

(C) 0

(D) 4

18. एक कण की स्थिति $s = t^3 – 6t^2 + 9t$ है। वेग (velocity) शून्य कब होगा? 2017

(A) $t=1, 3$

(B) $t=2, 4$

(C) $t=0$

(D) $t=1, 2$

Topic 2: स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब (Tangents and Normals)

19. रेखा $y = x + 1$ वक्र $y^2 = 4x$ की किस बिंदु पर स्पर्श रेखा है: 2019, 2024

(A) $(1, 2)$

(B) $(2, 1)$

(C) $(1, -2)$

(D) $(-1, 2)$

20. वक्र $y = x^3 – x$ की स्पर्श रेखा की ढाल (slope) $x = 2$ पर क्या होगी? 2023

(A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 13

21. वक्र $x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta$ के लिए $\theta = \pi/4$ पर अभिलंब की ढाल है: 2019, 2022

(A) 1

(B) -1

(C) 0

(D) परिभाषित नहीं है

22. वक्र $y = 2x^2 + 3\sin x$ के बिंदु $x = 0$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है: 2021

(A) 3

(B) 0

(C) 2

(D) 5

23. यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर हो, तो $\frac{dy}{dx}$ का मान होता है: 2018, 2024

(A) 1

(B) -1

(C) 0

(D) $\infty$

24. वक्र $y^2 = x$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है: 2017

(A) $x + 2y – 3 = 0$

(B) $2x + y – 3 = 0$

(C) $x – 2y + 1 = 0$

(D) $2x – y – 1 = 0$

25. वक्र $y = x^2 – x$ पर किस बिंदु पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है? 2023

(A) $(1/2, -1/4)$

(B) $(1/2, 1/4)$

(C) $(0, 0)$

(D) $(1, 1)$

26. यदि $y = x^4 – 10$ हो, तो $x=2$ पर dy/dx का मान क्या होगा? 2024

(A) 32

(B) 20

(C) 16

(D) 40

27. वक्र $x^2 + y^2 = 25$ के बिंदु $(3, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है: 2023

(A) 3/4

(B) -3/4

(C) 4/3

(D) -4/3

28. वक्र $y = x^3$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण: 2018

(A) $x+3y-4=0$

(B) $3x+y-4=0$

(C) $x+3y+4=0$

(D) इनमें से कोई नहीं

29. वह बिंदु जहाँ $y = x^2 – 4x + 5$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है: 2021

(A) $(2, 1)$

(B) $(1, 2)$

(C) $(0, 5)$

(D) $(2, 0)$

30. वक्र $y = \sqrt{x}$ के बिंदु $(4, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल क्या है: 2022

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 1

(D) 4

31. वक्र $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$ पर वे बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज (horizontal) है: 2019

(A) $x=1, -3$

(B) $x=-1, 3$

(C) $x=0, 3$

(D) $x=1, 3$

32. वक्र $x = a \cos \theta, y = b \sin \theta$ के लिए $dy/dx$ का मान है: 2021

(A) $-(b/a) \cot \theta$

(B) $(b/a) \tan \theta$

(C) $b/a$

(D) इनमें से कोई नहीं

33. मूल बिंदु पर रेखा $y = x$ के अभिलंब का समीकरण: 2020

(A) $y = x$

(B) $y = -x$

(C) $x = 0$

(D) $y = 0$

34. वक्र $y = e^{2x}$ के लिए बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल: 2024

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) $e$

35. जीवा $y = x – 2$ वक्र $y = (x-2)^2$ पर स्पर्श रेखा के समांतर कब होगी? 2021

(A) $(2, 0)$

(B) $(3, 1)$

(C) $(2.5, 0.25)$

(D) इनमें से कोई नहीं

36. वक्र $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल: 2019

(A) $t$

(B) $1/t$

(C) $-t$

(D) $-1/t$

37. वक्र $y = x^2$ के बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: 2023

(A) $2x – y – 1 = 0$

(B) $x – 2y + 1 = 0$

(C) $2x + y – 3 = 0$

(D) $y = x$

38. $x = a \cos \theta, y = a \sin \theta$ के अभिलंब की ढाल है: 2021

(A) $\tan \theta$

(B) $\cot \theta$

(C) $-\tan \theta$

(D) $-\cot \theta$

39. $y = x^2 + 3x – 4$ का $x = 1$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है: 2024

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

40. मूल बिंदु पर $y^2 = x$ और $x^2 = y$ के बीच का कोण है: 2016

(A) $0^\circ$

(B) $90^\circ$

(C) $45^\circ$

(D) $30^\circ$

41. बिंदु $(0, 1)$ पर $y = e^x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण: 2022

(A) $y = x+1$

(B) $y = x$

(C) $y = 1$

(D) $x+y=1$

42. $(1, 2)$ से गुजरने वाले $x^2 = 4y$ के अभिलंब की ढाल: 2021

(A) -1

(B) 1

(C) 2

(D) -2

43. $x = \pi/2$ पर $y = \cos x$ की स्पर्श रेखा की ढाल: 2023

(A) 0

(B) -1

(C) 1

(D) $\infty$

44. वक्र $y = x^2$ पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल $x$-निर्देशांक के बराबर है: 2020

(A) $(0, 0)$

(B) $(1, 1)$

(C) $(1/2, 1/4)$

(D) $(2, 4)$

45. $(ct, c/t)$ पर $xy = c^2$ की स्पर्श रेखा की ढाल: 2018

(A) $t^2$

(B) $-1/t^2$

(C) $1/t^2$

(D) $-t^2$

46. $(1, 2)$ पर $y^2 = 4x$ के अभिलंब की ढाल: 2019

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) -2

47. वक्र $y = 2x^2 + 3 \sin x$ के $x = 0$ पर अभिलंब की ढाल क्या है: 2026

(A) 3

(B) 1/3

(C) -1/3

(D) -3

48. वक्र $y = x^3 – x$ के $x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल क्या है: 2026

(A) 11

(B) 12

(C) 10

(D) 6

Topic 3: वर्धमान और ह्रासमान फलन (Increasing and Decreasing Functions)

49. वह अंतराल जिसमें $y = x^2 e^{-x}$ वर्धमान (increasing) है: 2018, 2023

(A) $(-\infty, \infty)$

(B) $(-2, 0)$

(C) $(2, \infty)$

(D) $(0, 2)$

50. फलन $f(x) = 2x^3 – 15x^2 + 36x + 1$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है? 2020

(A) $(2, 3)$

(B) $(-\infty, 2)$

(C) $(3, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

51. फलन $f(x) = \log(\sin x)$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है? 2021

(A) $(0, \pi/2)$

(B) $(\pi/2, \pi)$

(C) $(0, \pi)$

(D) कोई नहीं

52. फलन $f(x) = x^x$ का ह्रासमान अंतराल है: 2015, 2023

(A) $(0, e)$

(B) $(0, 1/e)$

(C) $(1/e, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

53. सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए फलन $f(x) = e^x$ होता है: 2022

(A) निरंतर वर्धमान

(B) निरंतर ह्रासमान

(C) अचर (constant)

(D) इनमें से कोई नहीं

54. $y = x(x-3)^2$ किस अंतराल में बढ़ (वर्धमान) रहा है? 2020

(A) $(1, 3)$

(B) $(0, 1)$

(C) $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

55. फलन $f(x) = 2x – \tan^{-1} x$ हमेशा होता है: 2021

(A) वर्धमान

(B) ह्रासमान

(C) अचर

(D) इनमें से कोई नहीं

56. $f(x) = e^{2x}$ की प्रकृति क्या है? 2020

(A) निरंतर वर्धमान

(B) निरंतर ह्रासमान

(C) दोनों में से कोई नहीं

(D) अचर

57. अंतराल $(0, 1)$ में $f(x) = x^2 – x + 1$ कैसा फलन है? 2022

(A) वर्धमान

(B) ह्रासमान

(C) न तो वर्धमान न ही ह्रासमान

(D) अचर

58. अंतराल $(0, \pi)$ में $y = \cos x$ होता है: 2019

(A) वर्धमान

(B) ह्रासमान

(C) अचर

(D) इनमें से कोई नहीं

59. फलन $f(x) = \tan x – x$ हमेशा: 2023

(A) बढ़ता है

(B) घटता है

(C) स्थिर रहता है

(D) इनमें से कोई नहीं

60. $f(x) = x^3$ किस प्रकार का फलन है? 2018

(A) निरंतर वर्धमान

(B) निरंतर ह्रासमान

(C) अचर

(D) इनमें से कोई नहीं

61. $x > -1$ के लिए $y = \log(1+x) – \frac{2x}{2+x}$ कैसा फलन है? 2021

(A) वर्धमान

(B) ह्रासमान

(C) दोनों

(D) इनमें से कोई नहीं

62. $[0, \pi/2]$ में $f(x) = \cos x$: 2024

(A) वर्धमान

(B) ह्रासमान

(C) अचर

(D) इनमें से कोई नहीं

63. फलन $f(x) = \sin x$ निरंतर ह्रासमान है: 2022

(A) $(0, \pi/2)$

(B) $(\pi/2, \pi)$

(C) $(0, \pi)$

(D) $(-\pi/2, \pi/2)$

64. फलन $f(x) = x^{100} + \sin x – 1$ किस अंतराल में ह्रासमान है: 2021

(A) $(0, 1)$

(B) $(\pi/2, \pi)$

(C) $(0, \pi/2)$

(D) इनमें से कोई नहीं

65. $f(x) = 2x^2 – 3x$ के निरंतर वर्धमान होने का अंतराल: 2023

(A) $(3/4, \infty)$

(B) $(-\infty, 3/4)$

(C) $(0, \infty)$

(D) इनमें से कोई नहीं

66. यदि $f(x) = kx – \sin x$ वर्धमान है, तो $k$ का मान है: 2017

(A) $k > 1$

(B) $k < 1$

(C) $k = 0$

(D) $k < -1$

Topic 4: उच्चतम और निम्नतम मान (Maxima and Minima)

67. फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ का उच्चतम मान है: 2017, 2021

(A) $\sqrt{2}$

(B) 2

(C) 1

(D) 0

68. $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ का न्यूनतम मान है: 2021

(A) $0$

(B) $1$

(C) $3$

(D) $1/3$

69. $f(x) = (2x-1)^2 + 3$ का न्यूनतम मान क्या है? 2021

(A) 0

(B) 2

(C) 3

(D) 1

70. यदि $x + y = 10$ हो, तो $xy$ का अधिकतम मान होगा: 2019

(A) 20

(B) 25

(C) 30

(D) 50

71. फलन $f(x) = x^{1/x}$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर होता है? 2016, 2022

(A) $x = e$

(B) $x = 1/e$

(C) $x = 1$

(D) $x = 0$

72. $f(x) = 3x^2 + 6x + 8$ का न्यूनतम मान क्या है: 2023

(A) 5

(B) 8

(C) 2

(D) 10

73. फलन $f(x) = \sin x$ का अंतराल $[0, \pi]$ में अधिकतम मान है: 2020

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) $1/2$

74. $f(x) = x^3 – 27x + 5$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर होगा? 2018

(A) 3

(B) -3

(C) 0

(D) 27

75. $f(x) = \log x / x$ का अधिकतम मान किस $x$ के लिए होता है: 2015

(A) 1

(B) $e$

(C) $1/e$

(D) 2

76. फलन $f(x) = \sin 2x$ का अधिकतम मान अंतराल $[0, \pi]$ में है: 2024

(A) 1

(B) 2

(C) 1/2

(D) 0

77. फलन $f(x) = x + 1/x$ का स्थानीय निम्नतम (local minimum) मान है: 2017

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) -2

78. $f(x) = |x|$ का $x=0$ पर निम्नतम मान है: 2022

(A) 1

(B) -1

(C) 0

(D) अस्तित्व नहीं है

79. $f(x) = 7 – 24x – 5x^2$ का उच्चतम मान है: 2021

(A) 7

(B) 35.8

(C) 24

(D) 40

80. वक्र $y = x^2$ पर वह बिंदु जो $(0, 5)$ के निकटतम है: 2022

(A) $(2, 4)$

(B) $(\sqrt{2}, 2)$

(C) $(0, 0)$

(D) $(2, 2)$

81. यदि $f(x) = x^4 – 62x^2 + ax + 9$ का $x=1$ पर उच्चतम मान है, तो $a$ का मान: 2018

(A) 120

(B) 110

(C) 100

(D) 150

82. $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ का अधिकतम मान है: 2020

(A) 1

(B) 1/2

(C) 3/4

(D) 2

83. $y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 5$ का स्थानीय उच्चतम बिंदु: 2023

(A) $x = -1$

(B) $x = 2$

(C) $x = 0$

(D) $x = 1$

84. 20 cm परिमाप वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या होगा: 2024

(A) 20

(B) 25

(C) 100

(D) 50

85. $f(x) = x^2 – 4x + 3$ का न्यूनतम मान है: 2021

(A) -1

(B) 0

(C) 1

(D) 3

86. रेखा $y – x = 1$ और वक्र $x = y^2$ के बीच की न्यूनतम दूरी: 2020

(A) $3\sqrt{2}/8$

(B) $2\sqrt{3}/8$

(C) $1/2$

(D) $\sqrt{2}/4$

87. $y = x^3 – 3x + 2$ का अंतराल $[0, 2]$ में उच्चतम मान: 2019

(A) 4

(B) 2

(C) 0

(D) 6

88. $x > 0$ के लिए $x + 1/x$ का अधिकतम मान: 2023

(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) कोई नहीं (केवल निम्नतम संभव है)

89. $[-1, 1]$ में $f(x) = x^2$ का न्यूनतम मान $x$ के किस मान पर है: 2022

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) $1/2$

90. $f(x) = x^3 – 3x$ का स्थानीय उच्चतम मान: 2024

(A) $x = -1$

(B) $x = 1$

(C) $x = 0$

(D) $x = 2$

Topic 5: प्रमेय और क्रांतिक बिंदु (Rolle’s & Mean Value Theorems)

91. यदि $f(x) = x^2 – 1$ हो, तो अंतराल $[1, 2]$ में रोले के प्रमेय के लिए $c$ का मान क्या होगा: 2020

(A) $3/2$

(B) $2/3$

(C) $1/2$

(D) रोले का प्रमेय लागू नहीं होता

92. अंतराल $[-2, 2]$ में $f(x) = x^2 – 4$ के लिए रोले के प्रमेय में $c$ का मान: 2016

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) -1

93. अंतराल $[2, 4]$ में $f(x) = x^2$ के लिए मध्यमान प्रमेय (MVT) में $c$ का मान: 2019

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 3.5

94. $f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 6x + 5$ के लिए प्रथम अवकलज $f'(x)$ है: 2021

(A) $6(x-1)^2$

(B) $6x^2$

(C) $x-1$

(D) 0

95. $[0, \pi]$ में $f(x) = \sin x$ के लिए रोले के प्रमेय में $c$ का मान है: 2023

(A) $\pi/2$

(B) $\pi/4$

(C) $0$

(D) $\pi$