Class-10 Math Ch-12 वृत्त का क्षेत्रफल Hindi Medium

अध्याय 12 : वृत्त का क्षेत्रफल (Area of Circles) – Class 10 Math Notes Hindi Medium

वृत्त ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इस अध्याय में वृत्त, त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, स्पर्श रेखा तथा उनसे जुड़े प्रमेयों का अध्ययन किया जाता है। बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से थ्योरी और प्रूफ आधारित प्रश्न अधिक पूछे जाते हैं।

12.1 वृत्त की परिभाषा

वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

मुख्य बिंदु

• निश्चित बिंदु को केंद्र कहते हैं।
• समान दूरी को त्रिज्या कहते हैं।

यदि O केंद्र है तथा OA = OB = OC, तो A, B और C वृत्त पर स्थित होंगे।

12.2 वृत्त से संबंधित मूल शब्दावली

1. केंद्र (Centre)

वृत्त का मध्य बिंदु केंद्र कहलाता है।

2. त्रिज्या (Radius)

केंद्र से वृत्त तक की दूरी त्रिज्या कहलाती है।

3. व्यास (Diameter)

वह जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है, व्यास कहलाती है।

व्यास के गुण

• यह वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
• व्यास = 2 × त्रिज्या

4. जीवा (Chord)

वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है।

जीवा के गुण

• समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
• केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

5. चाप (Arc)

वृत्त की परिधि का कोई भाग चाप कहलाता है।

चाप के प्रकार

• लघु चाप
• दीर्घ चाप

6. सेक्टर (Sector)

दो त्रिज्या तथा उनके बीच के चाप से बना क्षेत्र सेक्टर कहलाता है।

सेक्टर के प्रकार

• लघु सेक्टर
• दीर्घ सेक्टर

7. खंड (Segment)

जीवा तथा उसके संबंधित चाप के बीच का क्षेत्र खंड कहलाता है।

खंड के प्रकार

• लघु खंड
• दीर्घ खंड

8. परिधि (Circumference)

वृत्त की बाहरी सीमा परिधि कहलाती है।

परिधि का सूत्र

C = 2πr

9. क्षेत्रफल (Area)

वृत्त के अंदर का कुल क्षेत्रफल।

क्षेत्रफल का सूत्र

A = πr²

12.3 वृत्त में बिंदुओं की स्थिति

1. वृत्त के अंदर का बिंदु

जिसकी दूरी केंद्र से त्रिज्या से कम हो।

2. वृत्त पर स्थित बिंदु

जिसकी दूरी केंद्र से त्रिज्या के बराबर हो।

3. वृत्त के बाहर का बिंदु

जिसकी दूरी केंद्र से त्रिज्या से अधिक हो।

12.4 स्पर्श रेखा (Tangent)

वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छुए, स्पर्श रेखा कहलाती है।

स्पर्श बिंदु

जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है, स्पर्श बिंदु कहलाता है।

12.5 स्पर्श रेखा के गुण

गुण 1

स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।

गुण 2

स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।

अर्थात:

OT ⟂ PT

गुण 3

वृत्त के किसी बिंदु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

गुण 4

यदि कोई रेखा त्रिज्या पर लंब हो और वृत्त को छुए, तो वह स्पर्श रेखा होगी।

12.6 छेदक रेखा (Secant)

वह रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, छेदक कहलाती है।

स्पर्श रेखा और छेदक में अंतर

12.7 स्पर्श रेखा और त्रिज्या का प्रमेय

प्रमेय

स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।

निष्कर्ष

• त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच कोण 90° होता है।
• यह बोर्ड परीक्षा का महत्वपूर्ण प्रमेय है।

12.8 बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ

यदि किसी बाहरी बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA तथा PB खींची जाएँ, तो:

PA = PB

महत्वपूर्ण तथ्य

• OA ⟂ PA
• OB ⟂ PB
• दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

12.9 समान त्रिभुज एवं सर्वांगसमता का प्रयोग

स्पर्श रेखा वाले प्रश्नों में निम्न अवधारणाओं का प्रयोग होता है:

1. RHS सर्वांगसमता नियम

2. पायथागोरस प्रमेय

3. समान त्रिभुज

12.10 पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग

यदि:

• OP = बाहरी बिंदु से केंद्र तक दूरी
• OT = त्रिज्या
• PT = स्पर्श रेखा

तो:

OP² = OT² + PT²

स्पर्श रेखा का सूत्र

PT = √(OP² − OT²)

12.11 केंद्र से जीवा पर लंब

प्रमेय

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

यदि:

OM ⟂ AB

तो:

AM = MB

12.12 समान जीवाओं के गुण

प्रमेय 1

समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

प्रमेय 2

केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।

12.13 वृत्तों की पारस्परिक स्थिति

1. पृथक वृत्त

दोनों वृत्तों का कोई समान बिंदु नहीं होता।

2. स्पर्शी वृत्त

दोनों वृत्त केवल एक बिंदु पर मिलते हैं।

3. प्रतिच्छेदी वृत्त

दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर कटते हैं।

4. संकेंद्रित वृत्त

दो या अधिक वृत्त जिनका केंद्र समान हो।

12.14 आंतरिक एवं बाह्य स्पर्श

बाह्य स्पर्श

दो वृत्त बाहर से एक बिंदु पर स्पर्श करें।

आंतरिक स्पर्श

एक वृत्त दूसरे के अंदर होकर स्पर्श करे।

12.15 वृत्त की स्पर्श रेखा का निर्माण

निर्माण विधि

चरण 1

वृत्त का केंद्र ज्ञात करें।

चरण 2

स्पर्श बिंदु तक त्रिज्या खींचें।

चरण 3

त्रिज्या पर 90° का कोण बनाएं।

चरण 4

खींची गई रेखा स्पर्श रेखा होगी।

12.16 उन्नत अवधारणाएँ (Advanced Concepts)

1. Common Tangent

दो वृत्तों को स्पर्श करने वाली रेखा।

प्रकार

• Direct Common Tangent
• Transverse Common Tangent

2. Radical Axis

दो वृत्तों के समान शक्ति वाले बिंदुओं का स्थान।

3. Power of Point

किसी बाहरी बिंदु से वृत्त तक की दूरी से संबंधित अवधारणा।

12.17 महत्वपूर्ण सूत्र

व्यास

d = 2r

त्रिज्या

r = d/2

परिधि

C = 2πr

क्षेत्रफल

A = πr²

स्पर्श रेखा

PT = √(OP² − r²)

12.18 महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1

वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कौन होती है?

उत्तर

व्यास

प्रश्न 2

स्पर्श रेखा वृत्त को कितने बिंदुओं पर छूती है?

उत्तर

एक बिंदु

प्रश्न 3

त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच कोण कितना होता है?

उत्तर

90°

प्रश्न 4

बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ कैसी होती हैं?

उत्तर

बराबर

12.19 महत्वपूर्ण लघु उत्तरीय प्रश्न

1. स्पर्श रेखा की परिभाषा लिखिए।
2. जीवा क्या है?
3. चाप किसे कहते हैं?
4. व्यास और त्रिज्या में संबंध लिखिए।
5. स्पर्श बिंदु क्या होता है?

12.20 महत्वपूर्ण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

1. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है।
2. सिद्ध कीजिए कि बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
3. स्पर्श रेखा का निर्माण कीजिए।
4. समान जीवाओं के गुण सिद्ध कीजिए।

12.21 परीक्षा में ध्यान रखने योग्य बातें

• स्पर्श रेखा वाले प्रश्नों में 90° कोण अवश्य देखें।
• त्रिज्या हमेशा केंद्र से खींची जाती है।
• पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग बार-बार होता है।
• आकृति साफ और सही बनानी चाहिए।
• प्रमेय के स्टेप्स क्रम से लिखें।

12.22 अध्याय का सारांश

• वृत्त समान दूरी वाले बिंदुओं का समूह है।
• व्यास सबसे बड़ी जीवा होती है।
• स्पर्श रेखा केवल एक बिंदु पर वृत्त को छूती है।
• त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
• बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
• इस अध्याय में प्रमेय आधारित प्रश्न अधिक पूछे जाते हैं।