Class-10 Math Ch-15 प्रायिकता Hindi Medium

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📅 25/05/2026

कक्षा 10 गणित अध्याय 15 – प्रायिकता (Probability) नोट्स

15.1 प्रायिकता का परिचय

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जिसमें किसी घटना के होने की संभावना ज्ञात की जाती है। सरल शब्दों में, किसी कार्य के होने के “चांस” को प्रायिकता कहते हैं।

दैनिक जीवन के उदाहरण

सिक्का उछालने पर हेड आना
पासा फेंकने पर 6 आना
ताश के पत्तों में राजा निकलना
वर्षा होने की संभावना

15.2 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण शब्द

यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment)

ऐसा प्रयोग जिसका परिणाम पहले से निश्चित नहीं होता।

उदाहरण:

सिक्का उछालना
पासा फेंकना

परिणाम (Outcome)

प्रयोग से प्राप्त होने वाला परिणाम।

उदाहरण:
सिक्का उछालने पर:

Head
Tail

घटना (Event)

एक या एक से अधिक परिणामों का समूह।

उदाहरण:
पासे में सम संख्या आना।

15.3 प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space)

किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों के समूह को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं।

इसे सामान्यतः S से दर्शाते हैं।

उदाहरण

सिक्का उछालना

S = {H, T}

पासा फेंकना

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

दो सिक्के उछालना

S = {HH, HT, TH, TT}

15.4 प्रायिकता का सूत्र

किसी घटना E की प्रायिकता:

$P(E)=n(E)n(S)P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

जहाँ,

P(E) = घटना की प्रायिकता
n(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या
n(S) = कुल परिणामों की संख्या

15.5 प्रायिकता का मान

प्रायिकता का मान सदैव 0 और 1 के बीच होता है।

$0≤P(E)≤10\leq P(E)\leq 1$

विशेष स्थितियाँ

असंभव घटना

जिस घटना का होना संभव नहीं हो।

प्रायिकता = 0

उदाहरण:
पासे में 7 आना।

निश्चित घटना

जिस घटना का होना निश्चित हो।

प्रायिकता = 1

उदाहरण:
पासे में 1 से 6 के बीच संख्या आना।

15.6 घटनाओं के प्रकार

सरल घटना

जिसमें केवल एक परिणाम हो।

उदाहरण:
पासे में 4 आना।

मिश्र घटना

जिसमें एक से अधिक परिणाम हों।

उदाहरण:
पासे में सम संख्या आना = {2,4,6}

15.7 सिक्का उछालने पर प्रायिकता

एक सिक्का उछालना

प्रतिदर्श समष्टि:
S = {H,T}

हेड आने की प्रायिकता

$P(H)=12P(H)=\frac{1}{2}$

टेल आने की प्रायिकता

$P(T)=12P(T)=\frac{1}{2}$

15.8 पासे से संबंधित प्रायिकता

पासा फेंकना

S = {1,2,3,4,5,6}

3 आने की प्रायिकता

$P(3)=16P(3)=\frac{1}{6}$

सम संख्या आने की प्रायिकता

सम संख्याएँ:
{2,4,6}

$P(Even)=36=12P(Even)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

विषम संख्या आने की प्रायिकता

विषम संख्याएँ:
{1,3,5}

$P(Odd)=36=12P(Odd)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

15.9 ताश के पत्तों पर आधारित प्रायिकता

एक ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं।

राजा निकालने की प्रायिकता

कुल राजा = 4

$P(King)=452=113P(King)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता

Face Cards:

King
Queen
Jack

कुल फेस कार्ड = 12

$Card)=1252=313P(Face\ Card)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$

15.10 पूरक घटना (Complementary Event)

यदि E एक घटना है, तो उसका पूरक E’ होगा।

सूत्र:

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

उदाहरण

यदि पासे में सम संख्या आने की प्रायिकता:

$P(Even)=12P(Even)=\frac{1}{2}$

तो सम संख्या न आने की प्रायिकता:

$Even)=1−12=12P(Not\ Even)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

15.11 प्रायिकता के महत्वपूर्ण गुण

गुण 1

$0≤P(E)≤10\leq P(E)\leq 1$

गुण 2

निश्चित घटना की प्रायिकता:

$P (S) = 1$

गुण 3

असंभव घटना की प्रायिकता:

$P(ϕ)=0P(\phi)=0$

गुण 4

पूरक घटना का सूत्र:

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

15.12 प्रयोगात्मक प्रायिकता

किसी प्रयोग को बार-बार करके प्राप्त प्रायिकता को प्रयोगात्मक प्रायिकता कहते हैं।

सूत्र:

$TrialsP(E)=\frac{Number\ of\ Trials\ in\ which\ E\ occurs}{Total\ Number\ of\ Trials}$

15.13 महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न

प्रश्न 1

एक सिक्का उछाला जाता है। हेड आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

S = {H,T}

अनुकूल परिणाम = 1

$P(H)=12P(H)=\frac{1}{2}$

प्रश्न 2

एक पासा फेंका जाता है। अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

अभाज्य संख्याएँ:
{2,3,5}

अनुकूल परिणाम = 3

$P(Prime)=36=12P(Prime)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

प्रश्न 3

ताश की गड्डी से एक रानी निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

कुल रानी = 4

कुल पत्ते = 52

$P(Queen)=452=113P(Queen)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

15.14 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बातें

प्रतिदर्श समष्टि सही लिखें।
अनुकूल परिणामों को ध्यान से गिनें।
सूत्र सही लगाएँ।
उत्तर को सरल रूप में लिखें।
सभी चरण लिखें।

15.15 सामान्य गलतियाँ

कुल परिणाम गलत गिनना
अनुकूल परिणाम भूल जाना
भिन्न को सरल न करना
पूरक घटना में 1 से घटाना भूल जाना

15.16 त्वरित पुनरावृत्ति (Quick Revision)

प्रायिकता = संभावना
न्यूनतम प्रायिकता = 0
अधिकतम प्रायिकता = 1
निश्चित घटना की प्रायिकता = 1
असंभव घटना की प्रायिकता = 0

मुख्य सूत्र:

$OutcomesP(E)=\frac{Favorable\ Outcomes}{Total\ Outcomes}$

isame aur bhi topics NAHI hai ache se Pura topics likhiye basic to advance level tak

कक्षा 10 गणित अध्याय 15 – प्रायिकता (Probability) सम्पूर्ण नोट्स

15.1 प्रायिकता का अर्थ

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जिसमें किसी घटना के होने या न होने की संभावना ज्ञात की जाती है।
किसी कार्य के होने के “चांस” को प्रायिकता कहते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

बारिश होने की संभावना
लॉटरी जीतने की संभावना
सिक्का उछालने पर हेड आना
परीक्षा में पास होने की संभावना
क्रिकेट मैच जीतने की संभावना

15.2 प्रायिकता का इतिहास

प्रायिकता का विकास जुआ (Games of Chance) से हुआ।
बाद में इसका उपयोग विज्ञान, अर्थशास्त्र, मौसम विज्ञान, बीमा, व्यापार तथा कंप्यूटर विज्ञान में होने लगा।

15.3 महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment)

ऐसा प्रयोग जिसका परिणाम पहले से निश्चित न हो।

उदाहरण:

सिक्का उछालना
पासा फेंकना
कार्ड निकालना

परिणाम (Outcome)

प्रयोग से प्राप्त होने वाला परिणाम।

उदाहरण:
सिक्का उछालने पर:

घटना (Event)

एक या अधिक परिणामों का समूह।

उदाहरण:
पासे में सम संख्या आना।

अनुकूल परिणाम (Favourable Outcomes)

वे परिणाम जो दी गई घटना को संतुष्ट करें।

प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space)

सभी संभावित परिणामों का समूह।

इसे S से दर्शाते हैं।

15.4 प्रतिदर्श समष्टि के उदाहरण

एक सिक्का उछालना

S = {H,T}

कुल परिणाम:

$n (S) = 2$

दो सिक्के उछालना

S = {HH, HT, TH, TT}

कुल परिणाम:

$n (S) = 4$

एक पासा फेंकना

S = {1,2,3,4,5,6}

कुल परिणाम:

$n (S) = 6$

दो पासे फेंकना

कुल परिणाम:

$n (S) = 36$

15.5 घटनाओं के प्रकार

सरल घटना (Simple Event)

जिसमें केवल एक परिणाम हो।

उदाहरण:
पासे में 5 आना।

मिश्र घटना (Compound Event)

जिसमें एक से अधिक परिणाम हों।

उदाहरण:
पासे में सम संख्या आना।

निश्चित घटना (Sure Event)

जिस घटना का होना निश्चित हो।

प्रायिकता:

$P (E) = 1$

असंभव घटना (Impossible Event)

जिस घटना का होना असंभव हो।

प्रायिकता:

$P (E) = 0$

परस्पर अपवर्ती घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)

दो घटनाएँ जो एक साथ नहीं हो सकतीं।

उदाहरण:
पासे में एक साथ 2 और 5 आना।

समान संभावित घटनाएँ (Equally Likely Events)

जिन सभी परिणामों की संभावना समान हो।

उदाहरण:
संतुलित सिक्का।

15.6 प्रायिकता का शास्त्रीय सूत्र

यदि किसी घटना E के अनुकूल परिणाम n(E) तथा कुल परिणाम n(S) हों, तो:

$P(E)=n(E)n(S)P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

15.7 प्रायिकता की सीमा

किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच होती है।

$0≤P(E)≤10\leq P(E)\leq 1$

15.8 सिक्के पर आधारित प्रश्न

एक सिक्का उछालना

S = {H,T}

हेड आने की प्रायिकता

$P(H)=12P(H)=\frac{1}{2}$

टेल आने की प्रायिकता

$P(T)=12P(T)=\frac{1}{2}$

15.9 दो सिक्कों पर आधारित प्रश्न

S = {HH, HT, TH, TT}

दोनों में Head आने की प्रायिकता

$P(HH)=14P(HH)=\frac{1}{4}$

कम से कम एक Head आने की प्रायिकता

अनुकूल परिणाम:
{HH, HT, TH}

$Head)=34P(At\ Least\ One\ Head)=\frac{3}{4}$

कोई भी Head न आने की प्रायिकता

$Head)=14P(No\ Head)=\frac{1}{4}$

15.10 पासे पर आधारित प्रश्न

पासे में सम संख्या आने की प्रायिकता

सम संख्याएँ:
{2,4,6}

$P(Even)=36=12P(Even)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

विषम संख्या आने की प्रायिकता

$P(Odd)=36=12P(Odd)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता

अभाज्य संख्याएँ:
{2,3,5}

$P(Prime)=36=12P(Prime)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

6 से कम संख्या आने की प्रायिकता

अनुकूल परिणाम:
{1,2,3,4,5}

$P(Number<6)=56P(Number<6)=\frac{5}{6}$

15.11 ताश के पत्तों की प्रायिकता

एक गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं।

कार्डों के प्रकार

Hearts
Diamonds
Clubs
Spades

प्रत्येक प्रकार में 13 पत्ते होते हैं।

15.12 महत्वपूर्ण कार्ड प्रायिकताएँ

राजा निकालने की प्रायिकता

$P(King)=452=113P(King)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

रानी निकालने की प्रायिकता

$P(Queen)=452=113P(Queen)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता

कुल फेस कार्ड = 12

$Card)=1252=313P(Face\ Card)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$

लाल पत्ता निकालने की प्रायिकता

कुल लाल पत्ते = 26

$P(Red)=2652=12P(Red)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$

15.13 पूरक घटना (Complementary Event)

यदि E एक घटना है, तो उसका पूरक E’ होगा।

सूत्र:

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

उदाहरण

सम संख्या आने की प्रायिकता:

$P(Even)=12P(Even)=\frac{1}{2}$

सम संख्या न आने की प्रायिकता:

$Even)=1−12=12P(Not\ Even)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

15.14 प्रायिकता के गुण

गुण 1

$0≤P(E)≤10\leq P(E)\leq 1$

गुण 2

$P (S) = 1$

गुण 3

$P(ϕ)=0P(\phi)=0$

गुण 4

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

15.15 प्रयोगात्मक प्रायिकता

जब किसी प्रयोग को कई बार करके परिणाम निकाला जाए, तब प्राप्त प्रायिकता को प्रयोगात्मक प्रायिकता कहते हैं।

सूत्र:

$TrialsP(E)=\frac{Number\ of\ Trials\ in\ which\ E\ occurs}{Total\ Number\ of\ Trials}$

15.16 सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक प्रायिकता में अंतर

सैद्धांतिक प्रायिकता

गणना द्वारा ज्ञात
पहले से निर्धारित

प्रयोगात्मक प्रायिकता

प्रयोग करके ज्ञात
वास्तविक आंकड़ों पर आधारित

15.17 उन्नत स्तर (Advanced Level Concepts)

कम से कम (At Least)

“कम से कम” का अर्थ होता है उससे बड़ा या बराबर।

उदाहरण:
कम से कम एक Head।

अधिक से अधिक (At Most)

“अधिक से अधिक” का अर्थ होता है उससे छोटा या बराबर।

अनुकूल परिणाम निकालने की ट्रिक

पहले कुल परिणाम लिखें
फिर शर्त के अनुसार परिणाम चुनें
अंत में सूत्र लगाएँ

15.18 बोर्ड परीक्षा के महत्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 1

दो सिक्के उछाले जाते हैं। दोनों में Tail आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

S = {HH, HT, TH, TT}

अनुकूल परिणाम = {TT}

$P(TT)=14P(TT)=\frac{1}{4}$

प्रश्न 2

एक पासा फेंका जाता है। 3 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

अनुकूल परिणाम:
{4,5,6}

$P(Number>3)=36=12P(Number>3)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

प्रश्न 3

एक कार्ड निकाला जाता है। लाल बादशाह आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

लाल बादशाह = 2

$King)=252=126P(Red\ King)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$

15.19 महत्वपूर्ण सूत्र संग्रह

मुख्य सूत्र

$OutcomesP(E)=\frac{Favourable\ Outcomes}{Total\ Outcomes}$

पूरक घटना

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

प्रायिकता की सीमा

$0≤P(E)≤10\leq P(E)\leq 1$

15.20 परीक्षा के लिए विशेष टिप्स

प्रतिदर्श समष्टि अवश्य लिखें।
अनुकूल परिणाम अलग लिखें।
सूत्र साफ-साफ लिखें।
अंतिम उत्तर सरल रूप में दें।
Steps मत छोड़ें।

15.21 सामान्य गलतियाँ

कुल परिणाम गलत लेना
घटना को ठीक से न समझना
पूरक घटना में गलती करना
पासे और कार्ड के कुल परिणाम भूल जाना

15.22 त्वरित पुनरावृत्ति

Probability = संभावना
कुल Probability = 1
असंभव घटना = 0
निश्चित घटना = 1
पूरक घटना का योग = 1

मुख्य सूत्र:

$P(E)=n(E)n(S)P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

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