Class 11 भौतिकी Ch-5 कणों का निकाय एवं घूर्णन गति

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📅 04/06/2026

5. कणों का निकाय एवं घूर्णन गति (System of Particles and Rotational Motion)

यह अध्याय कक्षा 11 भौतिकी का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें हम यह समझते हैं कि जब कई कण (Particles) मिलकर एक निकाय (System) बनाते हैं, तो उनकी गति का अध्ययन कैसे किया जाता है। साथ ही, जब कोई वस्तु अपने अक्ष (Axis) के चारों ओर घूमती है, तो उसकी घूर्णन गति (Rotational Motion) का विश्लेषण कैसे किया जाता है।

1. कणों का निकाय (System of Particles)

कण (Particle) क्या है?

भौतिकी में ऐसा पिंड जिसका आकार और आकृति नगण्य मानी जाए तथा जिसका केवल द्रव्यमान महत्वपूर्ण हो, कण कहलाता है।

उदाहरण:

उड़ती हुई गेंद
ग्रह
उपग्रह

कणों का निकाय (System of Particles)

जब दो या दो से अधिक कण एक साथ विचार किए जाते हैं, तो उन्हें कणों का निकाय कहते हैं।

उदाहरण:

सौरमंडल
परमाणु
गैस के अणुओं का समूह

2. द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass)

परिभाषा

किसी वस्तु या कणों के समूह का वह काल्पनिक बिंदु जहाँ उसका सम्पूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है, द्रव्यमान केंद्र कहलाता है।

महत्व

जटिल वस्तुओं की गति को सरल बनाने के लिए द्रव्यमान केंद्र का उपयोग किया जाता है।

गणितीय सूत्र

$Xcm=m1x1+m2x2m1+m2X_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

जहाँ,

$m_1,m_2$ = कणों के द्रव्यमान
$x_1,x_2$ = उनकी स्थितियाँ

द्रव्यमान केंद्र की विशेषताएँ

यह वस्तु के अंदर या बाहर भी हो सकता है।
सममित वस्तुओं में यह ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
बाह्य बलों के प्रभाव में इसकी गति बदलती है।

द्रव्यमान केंद्र के उदाहरण

वृत्ताकार डिस्क का केंद्र
छल्ले (Ring) का केंद्र
डम्बल का मध्य बिंदु

3. द्रव्यमान केंद्र की गति (Motion of Centre of Mass)

अवधारणा

किसी निकाय पर लगने वाले कुल बाह्य बल के कारण उसका द्रव्यमान केंद्र गति करता है।

सूत्र

$F_{ext}=M a_{cm}$

जहाँ,

$F_{ext}$ = कुल बाह्य बल
$M$ = कुल द्रव्यमान
$a_{cm}$ = द्रव्यमान केंद्र का त्वरण

महत्वपूर्ण तथ्य

आंतरिक बल द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं करते।
केवल बाह्य बल ही प्रभाव डालते हैं।

उदाहरण

रॉकेट में गैसों का बाहर निकलना एक आंतरिक प्रक्रिया है, लेकिन बाह्य परिस्थितियों के अनुसार द्रव्यमान केंद्र गति करता है।

4. रैखिक संवेग (Linear Momentum)

परिभाषा

द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं।

$p = m v$

SI मात्रक

kg m/s

विशेषताएँ

सदिश राशि (Vector Quantity)
दिशा वेग की दिशा में होती है।

5. रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत (Law of Conservation of Linear Momentum)

कथन

यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा हो, तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।

सूत्र

$P_{initial}=P_{final}$

अनुप्रयोग

बंदूक का प्रतिक्षेप (Recoil)
गोली आगे जाती है और बंदूक पीछे हटती है।

रॉकेट प्रक्षेपण
रॉकेट ऊपर जाता है और गैस नीचे निकलती है।

विस्फोट
विस्फोट में कुल संवेग संरक्षित रहता है।

टक्कर (Collision)
दो वस्तुओं की टक्कर में कुल संवेग संरक्षित रहता है।

6. टक्कर (Collision)

टक्कर क्या है?

दो वस्तुओं के बीच अल्प समय के लिए होने वाली परस्पर क्रिया टक्कर कहलाती है।

प्रकार

प्रत्यास्थ टक्कर (Elastic Collision)

संवेग संरक्षित
गतिज ऊर्जा संरक्षित

अप्रत्यास्थ टक्कर (Inelastic Collision)

संवेग संरक्षित
गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं

पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर

टक्कर के बाद दोनों वस्तुएँ साथ चलती हैं।

7. कठोर पिंड (Rigid Body)

परिभाषा

ऐसा पिंड जिसकी आकृति और आकार बाह्य बल के प्रभाव में नहीं बदलते, कठोर पिंड कहलाता है।

वास्तविकता

पूर्णतः कठोर पिंड वास्तविकता में नहीं होते, यह एक आदर्श अवधारणा है।

उदाहरण

लोहे की छड़
पहिया
डिस्क

8. घूर्णन गति (Rotational Motion)

परिभाषा

जब कोई वस्तु किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है, तो वह घूर्णन गति कहलाती है।

उदाहरण

पंखा
पृथ्वी का घूर्णन
साइकिल का पहिया

9. घूर्णन अक्ष (Axis of Rotation)

परिभाषा

वह काल्पनिक रेखा जिसके चारों ओर वस्तु घूमती है।

प्रकार

आंतरिक अक्ष
बाह्य अक्ष

10. कोणीय विस्थापन (Angular Displacement)

परिभाषा

घूमने के दौरान कोण में हुए परिवर्तन को कोणीय विस्थापन कहते हैं।

प्रतीक

$θ\theta$

SI मात्रक

रेडियन (Radian)

संबंध

$θ=sr\theta=\frac{s}{r}$

जहाँ,

$s$ = चाप की लंबाई
$r$ = त्रिज्या

11. रेडियन (Radian)

परिभाषा

जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर हो, तब बना कोण 1 रेडियन कहलाता है।

संबंध

$radian180^\circ=\pi \, \text{radian}$

12. कोणीय वेग (Angular Velocity)

परिभाषा

एकांक समय में कोणीय विस्थापन की दर।

सूत्र

$ω=dθdt\omega=\frac{d\theta}{dt}$

SI मात्रक

rad/s

संबंध

$v=rωv=r\omega$

13. कोणीय त्वरण (Angular Acceleration)

परिभाषा

कोणीय वेग में परिवर्तन की दर।

सूत्र

$α=dωdt\alpha=\frac{d\omega}{dt}$

SI मात्रक

rad/s²

14. घूर्णन गति के गतिज समीकरण

$ω=ω0+αt\omega=\omega_0+\alpha t$

$θ=ω0t+12αt2\theta=\omega_0 t+\frac12\alpha t^2$ $ω2=ω02+2αθ\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$

15. वृत्तीय गति एवं घूर्णन गति का संबंध

रैखिक राशि	कोणीय राशि
विस्थापन (s)	कोणीय विस्थापन (θ)
वेग (v)	कोणीय वेग (ω)
त्वरण (a)	कोणीय त्वरण (α)
द्रव्यमान (m)	जड़त्व आघूर्ण (I)
बल (F)	बलाघूर्ण (τ)
संवेग (p)	कोणीय संवेग (L)

16. बलाघूर्ण (Torque)

परिभाषा

घूर्णन उत्पन्न करने की क्षमता को बलाघूर्ण कहते हैं।

$τ=rFsin⁡θ\tau=rF\sin\theta$

SI मात्रक

N·m

उदाहरण

दरवाजा खोलना
रिंच से नट खोलना

17. बल युग्म (Couple)

परिभाषा

बराबर और विपरीत दिशा के दो समानांतर बल जो घूर्णन उत्पन्न करें।

उदाहरण

स्टीयरिंग घुमाना
बोतल का ढक्कन खोलना

18. कोणीय संवेग (Angular Momentum)

परिभाषा

घूर्णन गति में वस्तु का संवेग कोणीय संवेग कहलाता है।

$L=r×pL=r\times p$

कठोर पिंड के लिए

$L=IωL=I\omega$

SI मात्रक

kg m²/s

19. कोणीय संवेग संरक्षण का सिद्धांत

कथन

यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बलाघूर्ण शून्य हो तो उसका कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

उदाहरण

स्केटर का हाथ अंदर करना
पृथ्वी का घूर्णन
न्यूट्रॉन तारा

20. जड़त्व (Inertia)

परिभाषा

वस्तु का अपनी अवस्था परिवर्तन का विरोध करना जड़त्व कहलाता है।

प्रकार

विराम जड़त्व
गति जड़त्व
दिशा जड़त्व

21. जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia)

परिभाषा

घूर्णन गति में जड़त्व का माप जड़त्व आघूर्ण कहलाता है।

$I=∑miri2I=\sum m_ir_i^2$

SI मात्रक

kg m²

प्रभावित करने वाले कारक

द्रव्यमान
अक्ष की स्थिति
द्रव्यमान वितरण

22. विभिन्न वस्तुओं का जड़त्व आघूर्ण

वलय (Ring)

$I=MR^2$

ठोस डिस्क

$I=12MR2I=\frac12MR^2$

ठोस गोला

$I=25MR2I=\frac25MR^2$

खोखला गोला

$I=23MR2I=\frac23MR^2$

छड़ (केंद्र से)

$I=112ML2I=\frac1{12}ML^2$

छड़ (सिरे से)

$I=13ML2I=\frac13ML^2$

23. त्रिज्या जड़त्व (Radius of Gyration)

परिभाषा

वह दूरी जहाँ पूरा द्रव्यमान केंद्रित मानने पर जड़त्व आघूर्ण समान रहे।

$I=Mk^2$

24. समांतर अक्ष प्रमेय (Parallel Axis Theorem)

$I=I_{cm}+Md^2$

25. लंबवत अक्ष प्रमेय (Perpendicular Axis Theorem)

$I_z=I_x+I_y$

26. घूर्णी गतिज ऊर्जा (Rotational Kinetic Energy)

$K=12Iω2K=\frac12 I\omega^2$

27. घूर्णन में न्यूटन का द्वितीय नियम

$τ=Iα\tau=I\alpha$

यह रैखिक गति के $F = ma$ का घूर्णन रूप है।

28. कोणीय आवेग (Angular Impulse)

$τΔt=ΔL\tau \Delta t=\Delta L$

29. संतुलन (Equilibrium)

जब वस्तु पर लगने वाले सभी बल और बलाघूर्ण संतुलित हों तो वस्तु संतुलन में होती है।

30. संतुलन की स्थितियाँ (Conditions of Equilibrium)

पहली शर्त

$∑F=0\sum F=0$

दूसरी शर्त

$∑τ=0\sum \tau=0$

31. स्थिर संतुलन (Stable Equilibrium)

वस्तु को थोड़ा विस्थापित करने पर वह पुनः अपनी मूल स्थिति में लौट आती है।

उदाहरण: कटोरे में रखी गेंद

32. अस्थिर संतुलन (Unstable Equilibrium)

वस्तु को थोड़ा विस्थापित करने पर वह अपनी मूल स्थिति से और दूर चली जाती है।

उदाहरण: पहाड़ी के शीर्ष पर गेंद

33. उदासीन संतुलन (Neutral Equilibrium)

विस्थापित करने पर वस्तु नई स्थिति में ही बनी रहती है।

उदाहरण: समतल सतह पर गेंद

34. गुरुत्व केंद्र (Centre of Gravity)

परिभाषा

वह बिंदु जहाँ वस्तु का सम्पूर्ण भार कार्य करता हुआ माना जाता है।

विशेष तथ्य

समान गुरुत्वीय क्षेत्र में गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र एक ही होते हैं।

35. अध्याय के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र

$p = m v$
$F_{ext}=Ma_{cm}$
$Xcm=∑mx∑mX_{cm}=\frac{\sum mx}{\sum m}$
$v=rωv=r\omega$
$at=rαa_t=r\alpha$
$ac=rω2a_c=r\omega^2$
$τ=rFsin⁡θ\tau=rF\sin\theta$
$L=IωL=I\omega$
$I=∑mr2I=\sum mr^2$
$K=12Iω2K=\frac12 I\omega^2$
$τ=Iα\tau=I\alpha$
$I=I_{cm}+Md^2$
$∑F=0\sum F=0$
$∑τ=0\sum \tau=0$

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