13. सीमाएँ (Limits)

13.1 सीमा की अवधारणा

13.1.1 सीमाओं का परिचय

13.1.1.1 सीमा का अर्थ

• चर (Variable)
• अचर (Constant)
• फलन (Function)
• निवेश मान (Input Value)
• निर्गत मान (Output Value)
• निकट आने की प्रक्रिया
• निकटता की अवधारणा
• मनचाही निकटता की अवधारणा
• मानों की प्रवृत्ति
• किसी बिंदु के निकट फलन का व्यवहार

13.1.1.2 सीमाओं की आवश्यकता

• फलनों के व्यवहार का अध्ययन
• तात्कालिक परिवर्तन
• सततता
• अवकलन
• समाकलन
• अनन्त प्रक्रियाएँ
• सन्निकटन विधियाँ

13.1.1.3 ऐतिहासिक विकास

• यूनानी विधियाँ
• क्षय विधि (Method of Exhaustion)
• अतिसूक्ष्म राशियों की अवधारणा
• न्यूटन का दृष्टिकोण
• लाइबनिट्ज़ का दृष्टिकोण
• कॉशी की कठोर परिभाषा
• वीयरश्ट्रास का औपचारिक रूप

13.1.2 सीमा की सहज अवधारणा

13.1.2.1 संख्यात्मक व्याख्या

• सारणी विधि
• क्रमिक सन्निकटन
• बढ़ते हुए मान
• घटते हुए मान
• दोनों ओर से निकट आना

13.1.2.2 आलेखीय व्याख्या

• वक्र का व्यवहार
• आलेख का अनुसरण
• खुला बिंदु
• बंद बिंदु
• आलेख पर किसी बिंदु के निकट पहुँचना
• दृश्य अनुमान

13.1.2.3 भौतिक व्याख्या

• कण की गति
• वेग की अवधारणा
• जनसंख्या वृद्धि
• शीतलन प्रक्रिया
• भौतिक सन्निकटन

13.1.3 सीमा की औपचारिक परिभाषा

13.1.3.1 एप्सिलॉन–डेल्टा परिभाषा

13.1.3.1.1 एप्सिलॉन (ε)

• धनात्मक संख्या
• त्रुटि सीमा
• वांछित शुद्धता

13.1.3.1.2 डेल्टा (δ)

• निवेश सहनशीलता
• पड़ोस का आकार
• नियंत्रण पैरामीटर

13.1.3.1.3 औपचारिक परिभाषा

• ε-पड़ोस
• δ-पड़ोस
• विलोपित पड़ोस
• छिद्रित पड़ोस
• मनमाना ε
• संगत δ

13.1.3.2 विलोपित पड़ोस

13.1.3.2.1 किसी बिंदु का पड़ोस

• खुला अंतराल
• बंद अंतराल
• त्रिज्या की अवधारणा

13.1.3.2.2 विलोपित पड़ोस

• केंद्र बिंदु को छोड़कर
• छिद्रित अंतराल
• सीमाओं में उपयोग

13.1.4 सीमाओं के गुण

13.1.4.1 एकात्मकता गुण

• केवल एक सीमा का अस्तित्व
• विरोधाभास द्वारा प्रमाण

13.1.4.2 स्वतंत्रता गुण

• बिंदु पर फलन का मान अप्रासंगिक
• केवल निकट का व्यवहार महत्वपूर्ण

13.1.4.3 स्थानीय प्रकृति

• केवल निकटवर्ती मान महत्वपूर्ण
• पड़ोस विश्लेषण

13.2 वाम सीमा

13.2.1 परिभाषा

13.2.1.1 बाईं ओर से निकट आना

• a से छोटे मान
• बाईं ओर से आगमन
• ऋणात्मक दिशा से आगमन

13.2.1.2 संकेतांकन

• a⁻ संकेत
• प्रतीकात्मक निरूपण
• एकपक्षीय संकेतांकन

13.2.2 वाम सीमा का निर्धारण

13.2.2.1 संख्यात्मक विधि

• सारणी विधि
• सन्निकटन

13.2.2.2 आलेखीय विधि

• बाईं ओर से आलेख पढ़ना
• दृश्य विश्लेषण

13.2.2.3 बीजीय विधि

• बीजीय सरलीकरण
• प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन

13.2.3 विशेष स्थितियाँ

13.2.3.1 परिमित वाम सीमा

• स्थिर मान की ओर अभिगमन
• स्थिर व्यवहार

13.2.3.2 अनन्त वाम सीमा

• धनात्मक अनन्त
• ऋणात्मक अनन्त

13.2.3.3 दोलायमान वाम सीमा

• अभिसरण का अभाव
• अनन्त दोलन

13.3 दक्षिण सीमा

13.3.1 परिभाषा

13.3.1.1 दाईं ओर से निकट आना

• a से बड़े मान
• दाईं ओर से आगमन
• धनात्मक दिशा से आगमन

13.3.1.2 संकेतांकन

• a⁺ संकेत
• एकपक्षीय निरूपण

13.3.2 दक्षिण सीमा का निर्धारण

13.3.2.1 संख्यात्मक विधि

• सारणी आधारित गणना
• सन्निकटन

13.3.2.2 आलेखीय विधि

• दाईं ओर से आलेख पढ़ना
• दृश्य अनुमान

13.3.2.3 बीजीय विधि

• सरलीकरण
• परिमेयकरण
• गुणनखंडन

13.3.3 विशेष स्थितियाँ

13.3.3.1 परिमित दक्षिण सीमा

13.3.3.2 अनन्त दक्षिण सीमा

13.3.3.3 दोलायमान दक्षिण सीमा

13.4 वाम सीमा और दक्षिण सीमा का संबंध

13.4.1 द्विपक्षीय सीमा

13.4.1.1 समानता की शर्त

• वाम सीमा = दक्षिण सीमा
• आवश्यक शर्त
• पर्याप्त शर्त

13.4.1.2 असमान एकपक्षीय सीमाएँ

• छलांग असततता
• सीमा का अस्तित्व नहीं

13.4.2 खंडित फलन

13.4.2.1 बायाँ भाग

13.4.2.2 दायाँ भाग

13.4.2.3 मिलान की शर्त

13.5 मानक सीमाएँ

13.5.1 त्रिकोणमितीय मानक सीमाएँ

13.5.1.1 मूलभूत त्रिकोणमितीय सीमा

• ज्यामितीय प्रमाण
• इकाई वृत्त प्रमाण
• सैंडविच प्रमेय प्रमाण
• अनुप्रयोग

13.5.1.2 स्पर्शज्या सीमा

13.5.1.3 कोज्या सीमा

13.5.1.4 ज्या के प्रतिलोम रूप

• x/sin x
• sin(ax)/ax
• सामान्यीकृत त्रिकोणमितीय रूप

13.5.2 घातीय मानक सीमाएँ

13.5.2.1 ऑयलर संख्या की परिभाषा

13.5.2.2 सामान्यीकृत ऑयलर रूप

• (1+x)^(1/x)
• (1+ax)^(1/x)

13.5.3 लघुगणकीय मानक सीमाएँ

13.5.3.1 मूलभूत लघुगणकीय सीमा

13.5.3.2 संबंधित लघुगणकीय सीमाएँ

• log(1+x)
• प्राकृतिक लघुगणक सीमाएँ
• आधार परिवर्तन सीमाएँ

13.5.4 मूलांक आधारित मानक सीमाएँ

13.5.4.1 वर्गमूल रूप

• परिमेयकरण
• संयुग्म गुणन

13.5.4.2 उच्च मूलांक रूप

• घनमूल
• nवाँ मूल

13.5.5 बहुपद एवं परिमेय मानक सीमाएँ

13.5.5.1 प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन वाले रूप

13.5.5.2 अनन्त पर सीमाएँ

13.6 सीमाओं का बीजगणित

13.6.1 स्थिरांक नियम

13.6.2 योग नियम

13.6.3 अंतर नियम

13.6.4 गुणन नियम

13.6.5 भाग नियम

13.6.6 घात नियम

• धनात्मक घातें
• ऋणात्मक घातें
• परिमेय घातें

13.6.7 मूलांक नियम

• वर्गमूल
• घनमूल
• nवाँ मूल

13.6.8 संयुक्त फलन नियम

• संयुक्त सीमाएँ
• नेस्टेड फलन

13.6.9 बहुपद सीमा प्रमेय

13.6.10 परिमेय फलन सीमा प्रमेय

13.6.11 सीमा संरक्षण गुण

• क्रम संरक्षण
• चिह्न संरक्षण
• परिबद्धता संरक्षण

13.7 सीमाओं के प्रकार

13.7.1 परिमित सीमाएँ

13.7.2 अनन्त सीमाएँ

13.7.3 एकपक्षीय सीमाएँ

13.7.4 द्विपक्षीय सीमाएँ

13.8 अनिर्धारित रूप

13.8.1 शून्य बटे शून्य (0/0)

13.8.2 अनन्त बटे अनन्त (∞/∞)

13.8.3 शून्य गुणा अनन्त (0×∞)

13.8.4 अनन्त घटा अनन्त (∞−∞)

13.8.5 शून्य की घात शून्य (0⁰)

13.8.6 अनन्त की घात शून्य (∞⁰)

13.8.7 एक की घात अनन्त (1∞)

13.8.8 अनन्त की घात अनन्त (∞∞)

13.8.9 शून्य की घात अनन्त (0∞)

13.9 सीमाएँ ज्ञात करने की विधियाँ

13.9.1 प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि

13.9.2 गुणनखंडन विधि

13.9.3 परिमेयकरण विधि

13.9.4 लघुत्तम समापवर्त्य विधि

13.9.5 उच्चतम घात से भाग विधि

13.9.6 मानक सीमा विधि

13.9.7 सैंडविच प्रमेय विधि

13.9.8 चर परिवर्तन विधि

13.9.9 लघुगणकीय विधि

13.9.10 श्रेणी प्रसार विधि

• द्विपद प्रसार
• मैक्लॉरिन प्रसार
• टेलर प्रसार

13.9.11 त्रिकोणमितीय सर्वसमिका विधि

13.9.12 संयुग्म युग्म विधि

13.9.13 आंशिक भिन्न विधि

13.9.14 पुनरावृत्ति संबंध विधि

13.10 सीमाओं के प्रमेय

13.10.1 एकात्मकता प्रमेय

13.10.2 परिबद्ध फलन प्रमेय

13.10.3 सैंडविच प्रमेय

13.10.4 तुलना प्रमेय

13.10.5 असमानताओं का संरक्षण

13.10.6 अनुक्रमीय मापदंड

13.10.7 संयुक्त फलन सीमा प्रमेय

13.11 अनन्त सीमाएँ

13.11.1 धनात्मक अनन्त सीमा

13.11.2 ऋणात्मक अनन्त सीमा

13.11.3 दोलायमान अपसरण

13.11.4 अनन्त दोलन

13.11.5 आवश्यक असततता

13.12 अनन्त पर सीमाएँ

13.12.1 बहुपद फलन

13.12.2 परिमेय फलन

13.12.3 घातीय फलन

13.12.4 लघुगणकीय फलन

13.12.5 त्रिकोणमितीय फलन

13.12.6 अतिपरवलयिक फलन

13.12.7 मिश्रित वृद्धि वाले फलन

वृद्धि क्रम पदानुक्रम

• लघुगणकीय वृद्धि
• घात वृद्धि
• घातीय वृद्धि
• फैक्टोरियल वृद्धि

13.13 सीमाओं में विशेष फलन

13.13.1 महत्तम पूर्णांक फलन

13.13.2 भिन्नांश फलन

13.13.3 सिग्नम फलन

13.13.4 मापांक फलन

13.13.5 सोपान फलन

13.13.6 खंडित फलन

13.13.7 डिरिख्ले प्रकार का फलन

13.13.8 थोमे प्रकार का फलन

13.14 उन्नत सीमा अवधारणाएँ

13.14.1 सीमा की अनुक्रमीय परिभाषा

13.14.2 हाइने का प्रमेय

13.14.3 सीमा के लिए कॉशी मापदंड

13.14.4 सीमा उच्च (Lim Sup)

13.14.5 सीमा निम्न (Lim Inf)

13.14.6 संकुलन बिंदु

13.14.7 संचय बिंदु

13.14.8 पड़ोस तंत्र

13.14.9 टोपोलॉजिकल सीमाएँ

13.14.10 मीट्रिक स्पेस में सीमाएँ

13.14.11 आसन्न व्यवहार

ऊर्ध्वाधर आसमटोट

क्षैतिज आसमटोट

तिर्यक आसमटोट

वक्ररेखीय आसमटोट

13.15 सीमाओं के अनुप्रयोग

13.15.1 तात्कालिक परिवर्तन दर

13.15.2 सीमा के रूप में अवकलज

13.15.3 स्पर्शरेखा की ढाल

13.15.4 अभिलम्ब की ढाल

13.15.5 वेग

13.15.6 त्वरण

13.15.7 क्षेत्रफल का सन्निकटन

13.15.8 समाकलन की आधारशिला

13.15.9 सततता का विश्लेषण

13.15.10 अवकलनीयता का विश्लेषण

13.15.11 अनुकूलन की आधारशिला

13.15.12 गणितीय मॉडलिंग

13.15.13 त्रुटि विश्लेषण

13.15.14 संख्यात्मक सन्निकटन

13.15.15 वैज्ञानिक अनुप्रयोग

भौतिकी में अनुप्रयोग

• गति
• यांत्रिकी
• विद्युतचुंबकत्व
• ऊष्मागतिकी

अभियांत्रिकी में अनुप्रयोग

• सिग्नल प्रोसेसिंग
• नियंत्रण तंत्र
• संरचनात्मक विश्लेषण

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

• सीमांत लागत
• सीमांत आय
• वृद्धि मॉडल

कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग

• एल्गोरिद्म विश्लेषण
• जटिलता वृद्धि
• अभिसरण विश्लेषण