Class 11 गणित Ch-14 अवकलज

भाग 1: अवकलज का परिचय एवं अवकलज की परिभाषा

• अवकलज का परिचय
• फलन संबंधी अवधारणाएँ
• परिवर्तन की दर (Rate of Change)
• वृद्धि (Increment) की अवधारणा
• अंतर अनुपात (Difference Quotient)
• प्रथम सिद्धांत से अवकलज
• अवकलज के संकेत (Notations)
• अवकलज का अस्तित्व
• सततता एवं अवकलनीयता
• अनवकलनीय फलन

भाग 1 : अवकलज (Derivatives) – अवकलज का परिचय एवं अवकलज की परिभाषा (Complete Master Hierarchy)

1 : अवकलज (Derivatives)

2 : अवकलज का परिचय

3 : अवकलज का अर्थ

4 : मूल अवधारणाएँ

• अवकलज की परिभाषा
• परिवर्तन की दर (Rate of Change)
• तात्कालिक परिवर्तन की दर (Instantaneous Rate of Change)
• किसी फलन के परिवर्तन का मापन
• स्वतंत्र चर (Independent Variable)
• आश्रित चर (Dependent Variable)
• चर एवं नियतांक
• फलन एवं उसका व्यवहार
• अवकलज का गणितीय महत्व
• अवकलज का भौतिक महत्व
• अवकलज का ज्यामितीय महत्व

3 : अवकलज का ऐतिहासिक विकास

4 : प्रमुख गणितज्ञ

• न्यूटन का योगदान
• लाइबनिज का योगदान
• Calculus का विकास
• अवकलन का इतिहास
• आधुनिक अवकलन सिद्धांत

3 : अवकलज की आवश्यकता

4 : उपयोग

• गति का अध्ययन
• वेग ज्ञात करना
• त्वरण ज्ञात करना
• वृद्धि एवं ह्रास का अध्ययन
• अधिकतम एवं न्यूनतम मान
• विज्ञान में उपयोग
• अभियंत्रण में उपयोग
• अर्थशास्त्र में उपयोग
• सांख्यिकी में उपयोग
• भौतिकी में उपयोग

2 : फलन संबंधी अवधारणाएँ (Function Related Concepts)

3 : फलन का परिचय

4 : मूल विषय

• फलन की परिभाषा
• फलन का संकेत
• f(x) का अर्थ
• चर एवं फलन का संबंध
• स्वतंत्र चर
• आश्रित चर

3 : फलन का प्रांत (Domain)

4 : उपविषय

• प्रांत की परिभाषा
• वास्तविक प्रांत
• प्रतिबंधित प्रांत
• बहुपद का प्रांत
• परिमेय फलन का प्रांत

3 : फलन का परिसर (Range)

4 : उपविषय

• परिसर की परिभाषा
• अधिकतम परिसर
• न्यूनतम परिसर
• फलन के मान

3 : फलन का ग्राफ

4 : उपविषय

• ग्राफ का निर्माण
• बिंदुओं का निरूपण
• वक्र का व्यवहार
• धनात्मक क्षेत्र
• ऋणात्मक क्षेत्र

3 : फलन का व्यवहार

4 : उपविषय

• बढ़ता हुआ फलन
• घटता हुआ फलन
• नियत फलन
• आवर्ती फलन
• सम फलन
• विषम फलन

2 : परिवर्तन की दर (Rate of Change)

3 : औसत परिवर्तन दर

4 : उपविषय

• Average Rate of Change
• दो बिंदुओं के बीच परिवर्तन
• औसत ढाल
• औसत परिवर्तन सूत्र

3 : तात्कालिक परिवर्तन दर

4 : उपविषय

• Instantaneous Rate of Change
• किसी एक बिंदु पर परिवर्तन
• सीमा प्रक्रिया द्वारा निर्धारण
• अवकलज के रूप में परिवर्तन दर

3 : परिवर्तन के प्रकार

4 : उपविषय

• समान परिवर्तन दर
• असमान परिवर्तन दर
• रैखिक परिवर्तन
• अरैखिक परिवर्तन
• धनात्मक परिवर्तन
• ऋणात्मक परिवर्तन

2 : वृद्धि (Increment) की अवधारणा

3 : स्वतंत्र चर में वृद्धि

4 : उपविषय

• Δx का अर्थ
• Increment of x
• धनात्मक वृद्धि
• ऋणात्मक वृद्धि
• सूक्ष्म वृद्धि

3 : आश्रित चर में वृद्धि

4 : उपविषय

• Δy का अर्थ
• Increment of y
• फलन में परिवर्तन
• Δf(x) का अर्थ

3 : वृद्धि के प्रकार

4 : उपविषय

• Finite Increment
• Infinitesimal Increment
• Small Increment
• Variable Increment

2 : अवकलज की परिभाषा (Definition of Derivative)

3 : अंतर अनुपात (Difference Quotient)

4 : मूल अवधारणाएँ

• Difference Quotient की परिभाषा
• Δy/Δx
• परिवर्तन अनुपात
• औसत परिवर्तन दर

3 : अग्र अंतर अनुपात (Forward Difference Quotient)

4 : उपविषय

• [f(x+h)-f(x)]/h
• h का अर्थ
• अग्र परिवर्तन

3 : पश्च अंतर अनुपात (Backward Difference Quotient)

4 : उपविषय

• [f(x)-f(x-h)]/h
• पश्च परिवर्तन
• ऋणात्मक दिशा में परिवर्तन

3 : सममित अंतर अनुपात (Symmetric Difference Quotient)

4 : उपविषय

• [f(x+h)-f(x-h)]/2h
• द्विपक्षीय परिवर्तन
• सममित सीमा

2 : प्रथम सिद्धांत द्वारा अवकलज

3 : प्रथम सिद्धांत की परिभाषा

4 : मानक रूप

• lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h
• सीमा प्रक्रिया
• h → 0 का अर्थ
• सूक्ष्म परिवर्तन

3 : वैकल्पिक प्रथम सिद्धांत

4 : उपविषय

• lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
• बिंदु a का अर्थ
• x → a का अर्थ
• स्थानीय परिवर्तन

3 : प्रथम सिद्धांत की संरचना

4 : उपविषय

• Numerator
• Denominator
• Difference Term
• Ratio Formation
• Limit Evaluation

3 : प्रथम सिद्धांत की प्रक्रिया

4 : चरण

• f(x+h) ज्ञात करना
• विस्तार करना
• समान पदों को हटाना
• h को सामान्य लेना
• सीमा लगाना
• अंतिम अवकलज प्राप्त करना

2 : अवकलज के संकेत (Notations of Derivatives)

3 : लैग्रांज संकेत

4 : उपविषय

• f′(x)
• f′(a)
• y′

3 : लाइबनिज संकेत

4 : उपविषय

• dy/dx
• d/dx
• d(f(x))/dx

3 : ऑयलर संकेत

4 : उपविषय

• D(y)
• Df(x)
• D Operator

3 : न्यूटन संकेत

4 : उपविषय

• ẏ
• Time Derivative
• Dot Notation

2 : अवकलज का अस्तित्व (Existence of Derivative)

3 : बायाँ अवकलज

4 : उपविषय

• Left Hand Derivative (LHD)
• बायीं ओर से सीमा
• LHD का निर्धारण

3 : दायाँ अवकलज

4 : उपविषय

• Right Hand Derivative (RHD)
• दायीं ओर से सीमा
• RHD का निर्धारण

3 : अवकलनीयता की शर्त

4 : उपविषय

• LHD = RHD
• सीमाओं की समानता
• अवकलनीय बिंदु

3 : अवकलनीय फलन

4 : उपविषय

• Differentiable Function
• Smooth Curve
• प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीयता

3 : अनवकलनीय फलन

4 : उपविषय

• Non-Differentiable Function
• Sharp Point
• Corner Point
• Cusp Point
• Vertical Tangent
• Infinite Slope

2 : सततता एवं अवकलनीयता

3 : सततता (Continuity)

4 : उपविषय

• सतत फलन
• असतत फलन
• सीमा का अस्तित्व
• फलन का अस्तित्व
• सीमा एवं फलन का समान होना

3 : अवकलनीयता (Differentiability)

4 : उपविषय

• अवकलनीय फलन
• अवकलज का अस्तित्व
• स्थानीय रैखिकता

3 : सततता एवं अवकलनीयता का संबंध

4 : उपविषय

• अवकलनीय ⇒ सतत
• सतत ⇏ अवकलनीय
• आवश्यक शर्त
• पर्याप्त शर्त

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• |x| फलन
• मॉड्यूलस फलन
• Piecewise Function
• Step Function

2 : अनवकलनीयता (Non-Differentiability)

3 : कोना बिंदु (Corner Point)

4 : उपविषय

• Sharp Corner
• LHD ≠ RHD

3 : कस्प (Cusp)

4 : उपविषय

• Cusp Point
• नुकीला वक्र

3 : ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा

4 : उपविषय

• Vertical Tangent
• Infinite Derivative
• Infinite Slope

3 : असततता

4 : उपविषय

• Jump Discontinuity
• Infinite Discontinuity
• Removable Discontinuity
• Oscillatory Discontinuity

3 : विशेष अनवकलनीय स्थितियाँ

4 : उपविषय

• Sharp Turn
• Broken Curve
• Undefined Derivative
• Infinite Rate of Change

भाग 2: ढाल के रूप में अवकलज

• ढाल की अवधारणा
• सीधी रेखा की ढाल
• छेदक रेखा (Secant)
• स्पर्शरेखा (Tangent)
• अभिलम्ब (Normal)
• निर्देशांक ज्यामिति से संबंध
• ज्यामितीय व्याख्या
• भौतिक व्याख्या

भाग 2 : ढाल के रूप में अवकलज (Derivative as Slope) – Complete Master Hierarchy

1 : ढाल के रूप में अवकलज (Derivative as Slope)

2 : ढाल (Slope) की मूल अवधारणा

3 : ढाल का परिचय

4 : मूल अवधारणाएँ

• ढाल (Slope) की परिभाषा
• झुकाव (Inclination)
• परिवर्तन की दर के रूप में ढाल
• रेखा की तीव्रता (Steepness)
• दिशा परिवर्तन
• धनात्मक ढाल
• ऋणात्मक ढाल
• शून्य ढाल
• अपरिभाषित ढाल

3 : झुकाव कोण (Angle of Inclination)

4 : उपविषय

• X-अक्ष के साथ कोण
• θ का अर्थ
• Inclination Angle
• Acute Angle Inclination
• Obtuse Angle Inclination
• θ और Slope का संबंध
• m = tanθ

3 : ढाल का चिन्ह (Sign of Slope)

4 : उपविषय

• धनात्मक चिन्ह
• ऋणात्मक चिन्ह
• शून्य चिन्ह
• अनंत ढाल
• Undefined Slope

2 : सीधी रेखा की ढाल (Slope of a Straight Line)

3 : दो बिंदुओं के बीच ढाल

4 : उपविषय

• बिंदु (x₁, y₁)
• बिंदु (x₂, y₂)
• Rise
• Run
• ऊर्ध्व परिवर्तन
• क्षैतिज परिवर्तन
• ढाल सूत्र

4 : सूत्र

• m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

3 : विशेष स्थितियाँ

4 : उपविषय

• क्षैतिज रेखा
• ऊर्ध्वाधर रेखा
• समानांतर रेखाएँ
• लम्बवत रेखाएँ
• समान ढाल वाली रेखाएँ
• विपरीत व्युत्क्रम ढाल

3 : ढाल का ज्यामितीय अर्थ

4 : उपविषय

• रेखा का ऊपर जाना
• रेखा का नीचे आना
• रेखा का स्थिर रहना
• रेखा का तीव्र झुकाव
• रेखा का कम झुकाव

2 : परिवर्तन की दर और ढाल

3 : औसत परिवर्तन दर

4 : उपविषय

• Average Rate of Change
• दो बिंदुओं के बीच परिवर्तन
• औसत ढाल
• परिवर्तन अनुपात
• Difference Quotient

3 : तात्कालिक परिवर्तन दर

4 : उपविषय

• Instantaneous Rate of Change
• किसी एक बिंदु पर ढाल
• सीमा प्रक्रिया
• अवकलज के रूप में परिवर्तन दर

3 : परिवर्तन की प्रकृति

4 : उपविषय

• बढ़ती दर
• घटती दर
• स्थिर दर
• धनात्मक परिवर्तन
• ऋणात्मक परिवर्तन

2 : छेदक रेखा (Secant Line)

3 : छेदक रेखा का परिचय

4 : उपविषय

• Secant Line की परिभाषा
• दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा
• वक्र को दो स्थानों पर काटना
• औसत ढाल

3 : छेदक रेखा की ढाल

4 : उपविषय

• Slope of Secant
• Difference Quotient
• औसत परिवर्तन दर
• दो बिंदुओं का उपयोग

3 : छेदक रेखा का महत्व

4 : उपविषय

• Tangent की ओर संक्रमण
• Limit की भूमिका
• Derivative की उत्पत्ति

2 : स्पर्शरेखा (Tangent Line)

3 : स्पर्शरेखा का परिचय

4 : उपविषय

• Tangent की परिभाषा
• वक्र को एक बिंदु पर स्पर्श करना
• स्थानीय व्यवहार
• स्पर्श बिंदु

3 : छेदक से स्पर्शरेखा

4 : उपविषय

• Limiting Position of Secant
• h → 0
• दो बिंदुओं का मिलना
• सीमा प्रक्रिया

3 : स्पर्शरेखा की ढाल

4 : उपविषय

• Slope of Tangent
• Tangent Gradient
• Derivative as Slope
• f′(x)

3 : स्पर्शरेखा का समीकरण

4 : उपविषय

• Point-Slope Form
• y − y₁ = m(x − x₁)
• बिंदु ज्ञात होना
• ढाल ज्ञात होना

3 : विशेष स्पर्शरेखाएँ

4 : उपविषय

• क्षैतिज स्पर्शरेखा
• ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा
• बहु-स्पर्शरेखा
• समानांतर स्पर्शरेखा

2 : अवकलज का ज्यामितीय अर्थ

3 : स्पर्शरेखा की ढाल के रूप में अवकलज

4 : उपविषय

• f′(x)
• dy/dx
• Tangent Slope
• Instantaneous Slope

3 : बढ़ता हुआ फलन

4 : उपविषय

• f′(x) > 0
• Positive Slope
• Increasing Function
• आरोही वक्र

3 : घटता हुआ फलन

4 : उपविषय

• f′(x) < 0
• Negative Slope
• Decreasing Function
• अवरोही वक्र

3 : स्थिर फलन

4 : उपविषय

• f′(x) = 0
• Horizontal Tangent
• Constant Function

3 : स्थिर बिंदु

4 : उपविषय

• Stationary Point
• Critical Point
• Turning Point का परिचय

2 : अभिलम्ब (Normal Line)

3 : अभिलम्ब का परिचय

4 : उपविषय

• Normal Line
• स्पर्शरेखा पर लंब रेखा
• स्पर्श बिंदु से गुजरना

3 : अभिलम्ब की ढाल

4 : उपविषय

• Slope of Normal
• mₙ = -1/mₜ
• Negative Reciprocal

3 : अभिलम्ब का समीकरण

4 : उपविषय

• Point-Slope Form
• Normal Equation
• ज्ञात बिंदु पर अभिलम्ब

3 : विशेष अभिलम्ब

4 : उपविषय

• क्षैतिज अभिलम्ब
• ऊर्ध्वाधर अभिलम्ब
• अनंत ढाल वाला अभिलम्ब

2 : निर्देशांक ज्यामिति से संबंध

3 : बिंदु एवं वक्र

4 : उपविषय

• Cartesian Plane
• निर्देशांक बिंदु
• वक्र का आलेखन
• बिंदु का स्थान

3 : ढाल और निर्देशांक

4 : उपविषय

• Coordinate Difference
• Rise
• Run
• Gradient

3 : स्पर्शरेखा और निर्देशांक

4 : उपविषय

• Point of Contact
• Tangent Equation
• Coordinate Geometry Interpretation

3 : अभिलम्ब और निर्देशांक

4 : उपविषय

• Normal Equation
• Perpendicular Relation
• Coordinate Form

2 : अवकलज का भौतिक अर्थ (Physical Interpretation)

3 : स्थिति और समय

4 : उपविषय

• Position Function
• Time Variable
• Displacement Function

3 : वेग (Velocity)

4 : उपविषय

• Average Velocity
• Instantaneous Velocity
• ds/dt
• Velocity Function

3 : त्वरण (Acceleration)

4 : उपविषय

• Average Acceleration
• Instantaneous Acceleration
• dv/dt
• Second Derivative

3 : गति संबंधी समस्याएँ

4 : उपविषय

• Distance-Time Graph
• Velocity-Time Graph
• Motion Analysis
• Rate Problems

2 : अवकलज एवं ग्राफ का व्यवहार

3 : बढ़ता हुआ ग्राफ

4 : उपविषय

• Positive Derivative
• Positive Gradient
• Upward Trend

3 : घटता हुआ ग्राफ

4 : उपविषय

• Negative Derivative
• Negative Gradient
• Downward Trend

3 : समतल ग्राफ

4 : उपविषय

• Zero Derivative
• Constant Slope
• Horizontal Behaviour

3 : तीव्रता का अध्ययन

4 : उपविषय

• Steep Curve
• Gentle Curve
• Large Slope
• Small Slope

2 : ढाल आधारित अनुप्रयोग

3 : स्पर्शरेखा ज्ञात करना

4 : उपविषय

• Tangent Slope
• Tangent Equation
• Point of Contact

3 : अभिलम्ब ज्ञात करना

4 : उपविषय

• Normal Slope
• Normal Equation
• Perpendicular Condition

3 : परिवर्तन दर ज्ञात करना

4 : उपविषय

• Instantaneous Rate
• Average Rate
• Growth Rate
• Decay Rate

3 : वक्र का विश्लेषण

4 : उपविषय

• Increasing Behaviour
• Decreasing Behaviour
• Stationary Behaviour
• Local Trend Analysis

3 : ग्राफ की व्याख्या

4 : उपविषय

• Graph Reading
• Slope Interpretation
• Curve Analysis
• Physical Meaning of Slope

भाग 3: बहुपद का अवकलज

• नियत फलन
• चर फलन
• घात फलन
• एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी एवं बहुपदी
• प्रथम सिद्धांत से अवकलज निकालना
• मानक बहुपद अवकलज
• बहुपद ग्राफ का व्यवहार
• स्थिर बिंदु एवं Turning Points

भाग 3 : बहुपद का अवकलज (Derivative of Polynomial) – Complete Master Hierarchy

1 : बहुपद का अवकलज (Derivative of Polynomial)

2 : बहुपद (Polynomial) का परिचय

3 : बहुपद की मूल अवधारणा

4 : मूल विषय

• बहुपद की परिभाषा
• Polynomial Function
• चर (Variable)
• नियतांक (Constant)
• गुणांक (Coefficient)
• पद (Term)
• घात (Power)
• बहुपद व्यंजक
• बहुपद फलन
• बीजगणितीय व्यंजक और बहुपद में अंतर

3 : बहुपद के अवयव

4 : उपविषय

• चर
• गुणांक
• नियतांक पद
• उच्चतम घात
• अग्रणी गुणांक (Leading Coefficient)
• प्रमुख पद (Leading Term)
• Degree Determining Term

3 : बहुपद की घात (Degree)

4 : उपविषय

• Degree की परिभाषा
• शून्य घात
• प्रथम घात
• द्वितीय घात
• तृतीय घात
• nवीं घात
• Degree एवं व्यवहार का संबंध

2 : बहुपद के प्रकार

3 : पदों की संख्या के आधार पर

4 : उपविषय

• एकपदी (Monomial)
• द्विपदी (Binomial)
• त्रिपदी (Trinomial)
• बहुपदी (Multinomial)
• बहुपद श्रृंखला

3 : घात के आधार पर

4 : उपविषय

• नियत बहुपद (Constant Polynomial)
• रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)
• द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)
• घन बहुपद (Cubic Polynomial)
• चतुर्थ घात बहुपद (Quartic Polynomial)
• पंचम घात बहुपद
• उच्च घात बहुपद

3 : गुणांकों के आधार पर

4 : उपविषय

• वास्तविक गुणांक बहुपद
• परिमेय गुणांक बहुपद
• पूर्णांक गुणांक बहुपद

2 : नियत फलन का अवकलज

3 : नियत फलन की अवधारणा

4 : उपविषय

• Constant Function
• f(x)=c
• स्थिर मान
• x पर निर्भर न होना

3 : प्रथम सिद्धांत से अवकलज

4 : चरण

• f(x+h)=c
• अंतर निकालना
• Difference Quotient
• Limit Application
• Derivative = 0

3 : नियतांक नियम

4 : सूत्र

• d(c)/dx = 0

3 : नियत फलन का ग्राफ

4 : उपविषय

• क्षैतिज रेखा
• शून्य ढाल
• स्थिर परिवर्तन दर

2 : चर फलन का अवकलज

3 : चर की अवधारणा

4 : उपविषय

• x का अर्थ
• Independent Variable
• Variable Function

3 : x का अवकलज

4 : उपविषय

• d(x)/dx
• First Principle Method
• Derivative = 1

3 : पहचान फलन (Identity Function)

4 : उपविषय

• f(x)=x
• Unit Rate of Change
• Constant Slope

2 : घात फलन (Power Function)

3 : घात फलन का परिचय

4 : उपविषय

• f(x)=xⁿ
• घात का अर्थ
• धनात्मक घात
• ऋणात्मक घात
• शून्य घात
• भिन्नात्मक घात

3 : घात नियम

4 : सूत्र

• d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹

3 : घात नियम के विशेष रूप

4 : उपविषय

• d(x²)/dx
• d(x³)/dx
• d(x⁴)/dx
• d(x⁵)/dx
• d(xⁿ)/dx

3 : विभिन्न घातों का अध्ययन

4 : उपविषय

• n > 0
• n = 0
• n < 0
• Fractional n
• Rational n
• Irrational Power Concept

2 : प्रथम सिद्धांत से बहुपद का अवकलज

3 : d(x)/dx

4 : चरण

• f(x)=x
• f(x+h)
• अंतर निकालना
• h से भाग
• Limit लेना

3 : d(x²)/dx

4 : चरण

• (x+h)² का विस्तार
• समान पद हटाना
• h सामान्य लेना
• सीमा लागू करना

3 : d(x³)/dx

4 : चरण

• (x+h)³ का विस्तार
• पदों का सरलीकरण
• Limit प्रक्रिया

3 : d(xⁿ)/dx

4 : उपविषय

• द्विपद प्रमेय का प्रयोग
• सामान्यीकरण
• Power Rule प्राप्त करना

3 : सामान्य बहुपद

4 : उपविषय

• ax+b
• ax²+bx+c
• ax³+bx²+cx+d
• a₀+a₁x+a₂x²+…+aₙxⁿ

2 : रैखिक बहुपद का अवकलज

3 : रैखिक फलन

4 : उपविषय

• ax+b
• Slope Form
• Constant Gradient

3 : अवकलज

4 : सूत्र

• d(ax+b)/dx = a

3 : ग्राफीय व्याख्या

4 : उपविषय

• सीधी रेखा
• स्थिर ढाल
• Constant Rate of Change

2 : द्विघात बहुपद का अवकलज

3 : द्विघात फलन

4 : उपविषय

• ax²+bx+c
• Parabola
• Quadratic Behaviour

3 : अवकलज

4 : सूत्र

• d(ax²+bx+c)/dx
• 2ax+b

3 : द्विघात ग्राफ का व्यवहार

4 : उपविषय

• शीर्ष बिंदु (Vertex)
• अधिकतम बिंदु
• न्यूनतम बिंदु
• सममिति अक्ष

2 : घन बहुपद का अवकलज

3 : घन फलन

4 : उपविषय

• ax³+bx²+cx+d
• Cubic Curve

3 : अवकलज

4 : सूत्र

• 3ax²+2bx+c

3 : घन वक्र का व्यवहार

4 : उपविषय

• Turning Behaviour
• Inflection Trend
• Local Increase
• Local Decrease

2 : उच्च घात बहुपद का अवकलज

3 : सामान्य रूप

4 : उपविषय

• a₀+a₁x+a₂x²+…+aₙxⁿ

3 : पद–दर–पद अवकलन

4 : उपविषय

• Term by Term Differentiation
• प्रत्येक पद पर Power Rule
• पदों का संयोजन

3 : सामान्य सूत्र

4 : उपविषय

• d/dx(aₙxⁿ)
• n·aₙxⁿ⁻¹

2 : बहुपद अवकलन की तकनीकें

3 : पद–दर–पद अवकलन

4 : उपविषय

• प्रत्येक पद का अलग अवकलन
• गुणांक स्थिर रखना
• घात घटाना

3 : सरलीकरण के बाद अवकलन

4 : उपविषय

• Expansion
• Simplification
• Like Terms Collection

3 : गुणनखंडित बहुपद

4 : उपविषय

• Factor Form
• Expansion Method
• Direct Differentiation

3 : विस्तारित बहुपद

4 : उपविषय

• Expanded Polynomial
• Standard Form

2 : मानक बहुपद अवकलज सारणी

3 : मूल सूत्र

4 : उपविषय

• d(1)/dx = 0
• d(x)/dx = 1
• d(x²)/dx = 2x
• d(x³)/dx = 3x²
• d(x⁴)/dx = 4x³
• d(x⁵)/dx = 5x⁴
• d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹

3 : ऋणात्मक घात

4 : उपविषय

• d(x⁻¹)/dx
• d(x⁻²)/dx
• d(x⁻ⁿ)/dx

3 : भिन्नात्मक घात

4 : उपविषय

• d(√x)/dx
• d(x^(1/2))/dx
• d(x^(m/n))/dx

2 : बहुपद ग्राफ का व्यवहार

3 : बढ़ता हुआ क्षेत्र

4 : उपविषय

• Positive Derivative
• Positive Slope
• Increasing Interval

3 : घटता हुआ क्षेत्र

4 : उपविषय

• Negative Derivative
• Negative Slope
• Decreasing Interval

3 : स्थिर बिंदु

4 : उपविषय

• Stationary Point
• Critical Point
• f'(x)=0

3 : Turning Point

4 : उपविषय

• Local Maximum
• Local Minimum
• Change of Direction

3 : वक्रता परिवर्तन

4 : उपविषय

• Inflection Behaviour
• Curvature Change
• Concavity Trend

2 : बहुपद अवकलज के अनुप्रयोग

3 : ढाल ज्ञात करना

4 : उपविषय

• Tangent Slope
• Instantaneous Slope

3 : स्पर्शरेखा का समीकरण

4 : उपविषय

• Point-Slope Form
• Tangent Equation

3 : अभिलम्ब का समीकरण

4 : उपविषय

• Normal Equation
• Perpendicular Slope

3 : वृद्धि एवं ह्रास

4 : उपविषय

• Increasing Behaviour
• Decreasing Behaviour

3 : ग्राफ विश्लेषण

4 : उपविषय

• Curve Sketching
• Behaviour Analysis
• Trend Analysis

3 : अनुकूलन का परिचय

4 : उपविषय

• Maximum Value Concept
• Minimum Value Concept
• Optimization Introduction

भाग 4: अवकलन के मूल नियम

• नियतांक नियम
• नियत गुणक नियम
• योग नियम
• अंतर नियम
• घात नियम
• गुणन नियम
• भागफल नियम
• श्रृंखला नियम
• मिश्रित फलन
• अवकल संचालक (Differential Operator)
• उच्च कोटि के अवकलज

भाग 4 : अवकलन के मूल नियम (Basic Differentiation Rules) – Complete Master Hierarchy

1 : अवकलन के मूल नियम (Basic Differentiation Rules)

2 : अवकलन नियमों का परिचय

3 : अवकलन नियमों की आवश्यकता

4 : मूल अवधारणाएँ

• जटिल फलनों का अवकलन
• अवकलन प्रक्रिया को सरल बनाना
• प्रथम सिद्धांत की सीमाएँ
• गणना की गति बढ़ाना
• मानक नियमों का उपयोग
• अवकलन में दक्षता
• अनुप्रयोग आधारित अवकलन

3 : अवकलन नियमों का वर्गीकरण

4 : उपविषय

• नियतांक नियम
• नियत गुणक नियम
• योग नियम
• अंतर नियम
• घात नियम
• गुणन नियम
• भागफल नियम
• श्रृंखला नियम
• उच्च कोटि अवकलन नियम
• संचालक आधारित नियम

2 : नियतांक नियम (Constant Rule)

3 : नियतांक की अवधारणा

4 : उपविषय

• Constant Function
• स्थिर मान
• x से स्वतंत्र राशियाँ
• संख्यात्मक नियतांक
• बीजगणितीय नियतांक

3 : नियतांक का अवकलज

4 : सूत्र

• d(c)/dx = 0

3 : नियतांक के प्रकार

4 : उपविषय

• धनात्मक नियतांक
• ऋणात्मक नियतांक
• शून्य नियतांक
• भिन्नात्मक नियतांक
• अपरिमेय नियतांक

3 : उदाहरण आधारित अध्ययन

4 : उपविषय

• d(5)/dx
• d(-7)/dx
• d(π)/dx
• d(e)/dx

2 : नियत गुणक नियम (Constant Multiple Rule)

3 : नियम का परिचय

4 : सूत्र

• d[cf(x)]/dx = c·f'(x)

3 : नियत गुणक की पहचान

4 : उपविषय

• बाहरी नियतांक
• गुणांक
• संख्यात्मक गुणक
• बीजगणितीय गुणक

3 : गुणक को बाहर निकालना

4 : उपविषय

• Factor Extraction
• Constant Separation
• Simplification Before Differentiation

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• d(5x²)/dx
• d(7x³)/dx
• d(-3x⁴)/dx

2 : योग नियम (Sum Rule)

3 : योग की अवधारणा

4 : उपविषय

• दो फलनों का योग
• अनेक फलनों का योग
• Polynomial Sum
• Function Addition

3 : योग नियम

4 : सूत्र

• d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx

3 : विस्तारित योग नियम

4 : उपविषय

• d(u+v+w)/dx
• Multiple Function Addition
• Long Expressions

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• x²+x³
• x+x²+x³+x⁴
• मिश्रित बहुपद

2 : अंतर नियम (Difference Rule)

3 : अंतर की अवधारणा

4 : उपविषय

• Function Difference
• घटाव
• Sign Management

3 : अंतर नियम

4 : सूत्र

• d(u-v)/dx = du/dx – dv/dx

3 : विस्तारित अंतर नियम

4 : उपविषय

• Multiple Subtractions
• Mixed Signs
• Alternating Terms

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• x³-x²
• x⁴-x³+x²-x

2 : घात नियम (Power Rule)

3 : घात फलन की अवधारणा

4 : उपविषय

• xⁿ
• Positive Power
• Negative Power
• Fractional Power
• Rational Power

3 : घात नियम

4 : सूत्र

• d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹

3 : धनात्मक पूर्णांक घात

4 : उपविषय

• x²
• x³
• x⁴
• x⁵
• xⁿ

3 : शून्य घात

4 : उपविषय

• x⁰ = 1
• Derivative of 1

3 : ऋणात्मक घात

4 : उपविषय

• x⁻¹
• x⁻²
• x⁻ⁿ

3 : भिन्नात्मक घात

4 : उपविषय

• x^(1/2)
• x^(1/3)
• x^(m/n)

3 : अपरिमेय घात

4 : उपविषय

• x^π
• x^√2

2 : गुणन नियम (Product Rule)

3 : गुणन की अवधारणा

4 : उपविषय

• दो फलनों का गुणन
• Product Function
• Composite Product

3 : गुणन नियम

4 : सूत्र

• d(uv)/dx = u(dv/dx)+v(du/dx)

3 : नियम के अवयव

4 : उपविषय

• प्रथम फलन
• द्वितीय फलन
• प्रथम × द्वितीय का अवकलज
• द्वितीय × प्रथम का अवकलज

3 : स्मृति तकनीक

4 : उपविषय

• First Function Rule
• Second Function Rule
• UV Rule

3 : अनेक फलनों का गुणन

4 : उपविषय

• u·v·w
• Triple Product
• Multiple Products

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• x²sinx
• x³cosx
• (x+1)(x²+1)

2 : भागफल नियम (Quotient Rule)

3 : भागफल की अवधारणा

4 : उपविषय

• Rational Function
• Numerator
• Denominator

3 : भागफल नियम

4 : सूत्र

• d(u/v)/dx = [v(du/dx)-u(dv/dx)]/v²

3 : नियम के घटक

4 : उपविषय

• अंश
• हर
• हर का वर्ग
• चिन्ह प्रबंधन

3 : विशेष शर्त

4 : उपविषय

• v ≠ 0
• Undefined Points
• Domain Restriction

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• x²/x
• (x²+1)/(x+1)
• sinx/x

2 : श्रृंखला नियम (Chain Rule)

3 : मिश्रित फलन की अवधारणा

4 : उपविषय

• Composite Function
• Function Inside Function
• Nested Function

3 : आंतरिक एवं बाहरी फलन

4 : उपविषय

• Inner Function
• Outer Function
• पहचान तकनीक

3 : श्रृंखला नियम

4 : सूत्र

• d[f(g(x))]/dx = f'(g(x))·g'(x)

3 : श्रृंखला नियम की प्रक्रिया

4 : चरण

• बाहरी फलन पहचानना
• आंतरिक फलन पहचानना
• बाहरी का अवकलन
• आंतरिक का अवकलन
• दोनों का गुणन

3 : बहु–स्तरीय श्रृंखला

4 : उपविषय

• Double Chain
• Triple Chain
• Nested Composition

3 : उदाहरण

4 : उपविषय

• (x²+1)⁵
• sin(x²)
• cos(x³+1)

2 : बीजगणितीय अवकलन (Algebraic Differentiation)

3 : बहुपद अवकलन

4 : उपविषय

• Polynomial Expressions
• Mixed Powers

3 : परिमेय व्यंजक

4 : उपविषय

• Rational Expressions
• Polynomial Ratios

3 : मिश्रित बीजगणितीय व्यंजक

4 : उपविषय

• Sum + Product
• Product + Quotient
• Composite Algebraic Forms

2 : अवकल संचालक (Differential Operator)

3 : d/dx संचालक

4 : उपविषय

• Operator Meaning
• Derivative Operator
• Linear Operator

3 : D-संचालक

4 : उपविषय

• D(y)
• Df(x)
• D Operator Notation

3 : संचालक के गुण

4 : उपविषय

• Linearity
• Additivity
• Homogeneity

3 : संचालक नियम

4 : उपविषय

• D(u+v)
• D(u-v)
• D(cu)

2 : उच्च कोटि के अवकलज (Higher Order Derivatives)

3 : द्वितीय अवकलज

4 : उपविषय

• Second Derivative
• d²y/dx²
• y”

3 : तृतीय अवकलज

4 : उपविषय

• Third Derivative
• d³y/dx³
• y”’

3 : nवाँ अवकलज

4 : उपविषय

• nth Derivative
• dⁿy/dxⁿ

3 : क्रमिक अवकलन

4 : उपविषय

• Successive Differentiation
• Repeated Differentiation
• Iterative Process

3 : उच्च कोटि अवकलजों की संकेतन प्रणाली

4 : उपविषय

• Leibniz Notation
• Lagrange Notation
• Operator Notation

3 : उच्च कोटि अवकलजों के अनुप्रयोग

4 : उपविषय

• वक्रता का अध्ययन
• त्वरण
• परिवर्तन की परिवर्तन दर
• ग्राफ विश्लेषण

2 : अवकलन नियमों के संयुक्त अनुप्रयोग

3 : एक से अधिक नियमों का उपयोग

4 : उपविषय

• Sum + Power Rule
• Product + Chain Rule
• Quotient + Chain Rule
• Mixed Rule Problems

3 : अवकलन रणनीति

4 : उपविषय

• Function Analysis
• Rule Selection
• Simplification Strategy

3 : सामान्य त्रुटियाँ

4 : उपविषय

• Sign Error
• Power Error
• Product Rule Error
• Quotient Rule Error
• Chain Rule Error

3 : अवकलन जाँच

4 : उपविषय

• Result Verification
• Algebraic Simplification
• Final Form Checking

भाग 5: त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलज

• त्रिकोणमितीय फलनों का पुनरावलोकन
• मानक त्रिकोणमितीय सीमाएँ
• उपयोगी सर्वसमिकाएँ
• sin, cos, tan, cot, sec, cosec के अवकलज
• संयुक्त त्रिकोणमितीय फलन
• मानक अवकलज सारणी
• अनुप्रयोग

भाग 5 : त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivative of Trigonometric Functions) – Complete Master Hierarchy

1 : त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज (Derivative of Trigonometric Functions)

2 : त्रिकोणमितीय अवकलन का परिचय

3 : त्रिकोणमितीय फलनों का पुनरावलोकन

4 : मूल त्रिकोणमितीय फलन

• sin x
• cos x
• tan x
• cot x
• sec x
• cosec x

4 : त्रिकोणमितीय फलनों का अर्थ

• कोण एवं त्रिकोणमिति
• इकाई वृत्त (Unit Circle)
• त्रिकोणमितीय अनुपात
• चतुर्थांशों में चिन्ह
• आवर्तिता (Periodicity)

3 : त्रिकोणमितीय अवकलन की आवश्यकता

4 : अनुप्रयोग

• दोलन (Oscillation)
• तरंग गति (Wave Motion)
• वृत्तीय गति (Circular Motion)
• संकेत विश्लेषण (Signal Analysis)
• भौतिकी एवं अभियंत्रण

2 : त्रिकोणमितीय अवकलन की पूर्व–आवश्यकताएँ

3 : मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

4 : पायथागोरस सर्वसमिकाएँ

• sin²x + cos²x = 1
• 1 + tan²x = sec²x
• 1 + cot²x = cosec²x

4 : व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ

• sec x = 1/cos x
• cosec x = 1/sin x
• cot x = cos x/sin x

4 : भागफल सर्वसमिकाएँ

• tan x = sin x/cos x
• cot x = cos x/sin x

4 : सह–फलन सर्वसमिकाएँ

• sin(90°−x)
• cos(90°−x)
• tan(90°−x)
• cot(90°−x)
• sec(90°−x)
• cosec(90°−x)

4 : सम–विषम गुण

• sin(-x)
• cos(-x)
• tan(-x)
• cot(-x)
• sec(-x)
• cosec(-x)

4 : आवर्तिता

• Period of sin x
• Period of cos x
• Period of tan x
• Period of cot x

2 : मानक त्रिकोणमितीय सीमाएँ (Standard Trigonometric Limits)

3 : मूल सीमाएँ

4 : उपविषय

• lim(x→0) (sinx/x)
• lim(x→0) (tanx/x)
• lim(x→0) ((1-cosx)/x)
• lim(x→0) ((1-cosx)/x²)

3 : सीमा सिद्ध करने की विधियाँ

4 : उपविषय

• ज्यामितीय विधि
• Sandwich Theorem
• Unit Circle Method
• Algebraic Manipulation

3 : सीमाओं का महत्व

4 : उपविषय

• sin x का अवकलज
• cos x का अवकलज
• प्रथम सिद्धांत आधारित अवकलन

2 : sin x का अवकलज

3 : sin फलन की अवधारणा

4 : उपविषय

• Sine Curve
• Domain
• Range
• Periodicity

3 : प्रथम सिद्धांत से अवकलज

4 : चरण

• f(x)=sinx
• f(x+h)=sin(x+h)
• Addition Formula
• Difference Quotient
• Limit Application

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(sinx)/dx = cosx

3 : ग्राफीय व्याख्या

4 : उपविषय

• Tangent Slope
• Positive Slope Region
• Negative Slope Region

3 : अनुप्रयोग

4 : उपविषय

• Slope Problems
• Rate Problems
• Curve Analysis

2 : cos x का अवकलज

3 : Cosine Function

4 : उपविषय

• Cosine Curve
• Domain
• Range

3 : प्रथम सिद्धांत से अवकलज

4 : चरण

• Addition Formula
• Difference Quotient
• Standard Limits

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(cosx)/dx = -sinx

3 : ऋणात्मक चिन्ह का स्रोत

4 : उपविषय

• Curve Behaviour
• Decreasing Nature
• Limit Evaluation

3 : अनुप्रयोग

4 : उपविषय

• Slope Analysis
• Tangent Problems

2 : tan x का अवकलज

3 : Tangent Function

4 : उपविषय

• tan x = sinx/cosx
• Domain Restriction
• Vertical Asymptotes

3 : भागफल नियम द्वारा अवकलज

4 : चरण

• Quotient Rule
• Simplification
• Identity Application

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(tanx)/dx = sec²x

3 : वैकल्पिक सिद्धि

4 : उपविषय

• Identity Method
• Chain Based Approach

3 : अनुप्रयोग

4 : उपविषय

• Slope Problems
• Rate of Change

2 : cot x का अवकलज

3 : Cotangent Function

4 : उपविषय

• cot x = cosx/sinx
• Domain Restriction

3 : भागफल नियम द्वारा अवकलज

4 : चरण

• Quotient Rule
• Identity Simplification

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(cotx)/dx = -cosec²x

3 : ऋणात्मक चिन्ह का कारण

4 : उपविषय

• Decreasing Nature
• Curve Analysis

2 : sec x का अवकलज

3 : Secant Function

4 : उपविषय

• sec x = 1/cosx
• Reciprocal Function

3 : व्युत्पत्ति

4 : चरण

• Reciprocal Method
• Quotient Rule
• Chain Rule Usage

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(secx)/dx = secx tanx

3 : गुणन संरचना

4 : उपविषय

• secx
• tanx
• Product Nature

2 : cosec x का अवकलज

3 : Cosecant Function

4 : उपविषय

• cosec x = 1/sinx
• Reciprocal Function

3 : व्युत्पत्ति

4 : चरण

• Reciprocal Differentiation
• Quotient Rule

3 : मानक परिणाम

4 : सूत्र

• d(cosecx)/dx = -cosecx cotx

3 : ऋणात्मक चिन्ह का कारण

4 : उपविषय

• Function Behaviour
• Decreasing Region

2 : त्रिकोणमितीय अवकलजों की मानक सारणी

3 : मूल सारणी

4 : सूत्र

• d(sinx)/dx = cosx
• d(cosx)/dx = -sinx
• d(tanx)/dx = sec²x
• d(cotx)/dx = -cosec²x
• d(secx)/dx = secx tanx
• d(cosecx)/dx = -cosecx cotx

3 : सारणी का उपयोग

4 : उपविषय

• प्रत्यक्ष अवकलन
• मिश्रित फलनों में उपयोग
• उच्च कोटि अवकलन में उपयोग

2 : संयुक्त त्रिकोणमितीय फलन

3 : sin(ax+b)

4 : उपविषय

• Inner Function
• Outer Function
• Chain Rule

3 : cos(ax+b)

4 : उपविषय

• Composite Form
• Chain Rule Application

3 : tan(ax+b)

4 : उपविषय

• sec²(ax+b)
• Inner Derivative

3 : cot(ax+b)

4 : उपविषय

• cosec²(ax+b)
• Negative Sign

3 : sec(ax+b)

4 : उपविषय

• sec(ax+b)tan(ax+b)
• Chain Rule

3 : cosec(ax+b)

4 : उपविषय

• cosec(ax+b)cot(ax+b)
• Chain Rule

2 : त्रिकोणमितीय फलनों का उच्च कोटि अवकलन

3 : द्वितीय अवकलज

4 : उपविषय

• d²(sinx)/dx²
• d²(cosx)/dx²
• d²(tanx)/dx²

3 : तृतीय अवकलज

4 : उपविषय

• d³(sinx)/dx³
• d³(cosx)/dx³

3 : आवर्ती पैटर्न

4 : उपविषय

• Cyclic Differentiation
• Repetition Pattern
• Periodic Derivatives

2 : त्रिकोणमितीय अवकलजों का ग्राफीय विश्लेषण

3 : sin x और cos x

4 : उपविषय

• Increasing Region
• Decreasing Region
• Stationary Points

3 : tan x और cot x

4 : उपविषय

• Asymptotic Behaviour
• Infinite Slope Region

3 : sec x और cosec x

4 : उपविषय

• Undefined Points
• Graph Discontinuity

2 : त्रिकोणमितीय अवकलजों के अनुप्रयोग

3 : स्पर्शरेखा संबंधी प्रश्न

4 : उपविषय

• Tangent Slope
• Tangent Equation
• Point of Contact

3 : अभिलम्ब संबंधी प्रश्न

4 : उपविषय

• Normal Slope
• Normal Equation

3 : परिवर्तन दर संबंधी प्रश्न

4 : उपविषय

• Instantaneous Rate
• Angular Rate
• Growth and Decay

3 : गति संबंधी प्रश्न

4 : उपविषय

• Harmonic Motion
• Oscillatory Motion
• Circular Motion

3 : ग्राफ विश्लेषण

4 : उपविषय

• Curve Behaviour
• Increasing/Decreasing Nature
• Turning Behaviour

3 : भौतिकी में अनुप्रयोग

4 : उपविषय

• तरंगें (Waves)
• ध्वनि (Sound)
• प्रकाश (Light)
• विद्युत संकेत (Electrical Signals)
• प्रत्यावर्ती धारा (AC Circuits)

2 : त्रिकोणमितीय अवकलन में सामान्य त्रुटियाँ

3 : चिन्ह संबंधी त्रुटियाँ

4 : उपविषय

• cosx के अवकलज में ऋणात्मक चिन्ह भूलना
• cotx एवं cosecx में ऋणात्मक चिन्ह भूलना

3 : सर्वसमिका संबंधी त्रुटियाँ

4 : उपविषय

• sec²x और secx में भ्रम
• cosec²x और cosecx में भ्रम
• tan²x एवं sec²x में भ्रम

3 : श्रृंखला नियम संबंधी त्रुटियाँ

4 : उपविषय

• Inner Derivative भूलना
• Composite Function की गलत पहचान

3 : परिभाषा क्षेत्र संबंधी त्रुटियाँ

4 : उपविषय

• Undefined Points की उपेक्षा
• Domain Restriction की उपेक्षा