15. गणितीय तर्कशक्ति (Mathematical Reasoning) – Complete Master Hierarchy

1. प्रस्ताव (Propositions)

1.1 प्रस्ताव की मूल अवधारणा

1.1.1 प्रस्ताव की परिभाषा

1.1.1.1 ऐसा वाक्य जो सत्य या असत्य हो सकता है

1.1.1.2 निश्चित सत्यता मान (Truth Value)

1.1.1.3 गणितीय प्रस्ताव

1.1.2 प्रस्ताव के प्रकार

1.1.2.1 सरल प्रस्ताव (Atomic Proposition)

1.1.2.2 संयुक्त प्रस्ताव (Compound Proposition)

1.1.2.3 खुले वाक्य (Open Statement)

1.1.2.4 बंद वाक्य (Closed Statement)

1.1.3 प्रस्ताव चर

1.1.3.1 p, q, r का उपयोग

1.1.3.2 प्रतीकात्मक निरूपण

2. तार्किक स्थिरांक (Logical Constants)

2.1 सत्य और असत्य

2.1.1 T (True)

2.1.2 F (False)

2.2 सार्वभौमिक सत्य और असत्य

2.2.1 सदैव सत्य कथन (Tautology)

2.2.2 सदैव असत्य कथन (Contradiction)

3. तार्किक संयोजक (Logical Connectives)

3.1 AND (संयोजन)

3.1.1 p ∧ q

3.1.2 सत्य सारणी

3.1.3 नियम

3.2 OR (विकल्प)

3.2.1 p ∨ q

3.2.2 समावेशी OR

3.3 NOT (निषेध)

3.3.1 ¬p

3.3.2 दोहरा निषेध

3.4 XOR (Exclusive OR)

3.4.1 केवल एक सत्य

3.4.2 सत्य सारणी

3.5 Implication (निहितार्थ)

3.5.1 p → q

3.5.2 पूर्ववर्ती और अनुवर्ती

3.6 Biconditional

3.6.1 p ↔ q

3.6.2 तभी और केवल तभी

4. सत्य सारणी (Truth Table)

4.1 निर्माण

4.1.1 एक चर

4.1.2 दो चर

4.1.3 तीन चर

4.2 संयोजकों की सारणी

4.2.1 NOT

4.2.2 AND

4.2.3 OR

4.2.4 XOR

4.2.5 Implication

4.2.6 Biconditional

4.3 संयुक्त कथन

4.3.1 (p ∧ q) ∨ r

4.3.2 Nested expressions

5. निषेध (Negation)

5.1 मूल निषेध

5.1.1 कथन का उल्टा

5.2 De Morgan’s Laws

5.2.1 ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

5.2.2 ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

5.3 जटिल निषेध

5.3.1 संयुक्त कथन का निषेध

6. शर्तीय तर्क (Conditional Logic)

6.1 Implication

6.1.1 p → q

6.2 संबंधित कथन

6.2.1 Converse: q → p

6.2.2 Inverse: ¬p → ¬q

6.2.3 Contrapositive: ¬q → ¬p

6.3 संबंध

6.3.1 Contrapositive ≡ Original

6.3.2 Converse ≠ Original

6.3.3 Inverse ≠ Original

6.4 आवश्यक और पर्याप्त शर्त

6.4.1 Necessary Condition

6.4.2 Sufficient Condition

7. सत्य सारणी आधारित विश्लेषण

7.1 सत्यता विश्लेषण

7.1.1 T → F स्थिति

7.1.2 F → T स्थिति

7.2 तार्किक परीक्षण

7.2.1 validity check

7.2.2 equivalence check

8. तर्क एवं अनुमान (Arguments & Inference)

8.1 वैध तर्क

8.1.1 Valid Argument

8.1.2 Invalid Argument

8.2 नियम

8.2.1 Modus Ponens

8.2.2 Modus Tollens

8.2.3 Hypothetical Syllogism

8.2.4 Disjunctive Syllogism

9. तार्किक त्रुटियाँ (Logical Fallacies)

9.1 सामान्य त्रुटियाँ

9.1.1 Converse Error

9.1.2 Inverse Error

9.1.3 False Assumption

9.2 reasoning mistakes

9.2.1 Circular Reasoning

9.2.2 Faulty Generalization

10. प्रमाण की विधियाँ (Methods of Proof)

10.1 Direct Proof

10.1.1 प्रत्यक्ष प्रमाण

10.2 Indirect Proof

10.2.1 Contradiction

10.3 Contrapositive Proof

10.3.1 प्रतिलोम विधि

10.4 Proof by Cases

10.4.1 केस आधारित प्रमाण

10.5 Counter Example

10.5.1 खंडन उदाहरण

11. परिमेयक (Quantifiers)

11.1 Universal Quantifier

11.1.1 ∀x

11.1.2 सभी के लिए कथन

11.2 Existential Quantifier

11.2.1 ∃x

11.2.2 कम से कम एक अस्तित्व

11.3 Negation Rules

11.3.1 ¬∀x = ∃x¬

11.3.2 ¬∃x = ∀x¬

12. विधेय तर्क (Predicate Logic)

12.1 Predicate

12.1.1 मूल अवधारणा

12.2 Domain

12.2.1 मानों का क्षेत्र

12.3 Open/Closed Statements

12.3.1 खुले वाक्य

12.3.2 बंद वाक्य

13. तार्किक तुल्यता (Logical Equivalence)

13.1 नियम

13.1.1 Identity Law

13.1.2 De Morgan Law

13.1.3 Distributive Law

13.1.4 Absorption Law

13.2 Tautology & Contradiction

13.2.1 सदैव सत्य

13.2.2 सदैव असत्य

14. बूलियन तर्क (Boolean Logic)

14.1 Variables

14.1.1 Boolean Variables

14.2 Gates

14.2.1 AND Gate

14.2.2 OR Gate

14.2.3 NOT Gate

14.2.4 NAND

14.2.5 NOR

14.2.6 XOR

14.2.7 XNOR

15. सेट सिद्धांत और तर्क (Set Theory & Logic)

15.1 Membership Logic

15.1.1 तत्व संबंध

15.2 Venn Logic

15.2.1 Venn Diagram आधारित तर्क

16. अनुप्रयोग (Applications)

16.1 Mathematical Problems

16.1.1 reasoning questions

16.2 Computer Science

16.2.1 programming logic

16.3 AI Systems

16.3.1 decision making logic