Class 12 गणित Ch-9 अवकल समीकरण

अवकल समीकरण (Differential Equations)

9.1 क्रम और घात (Order and Degree)

9.1.1 अवकल समीकरण की मूल अवधारणा
9.1.1.1 अवकल समीकरण की परिभाषा
9.1.1.2 स्वतंत्र चर (Independent Variable)
9.1.1.3 आश्रित चर (Dependent Variable)
9.1.1.4 अवकलज (Derivative) का परिचय
9.1.1.5 अवकल समीकरण का मानक रूप
9.1.1.6 समाधान की अवधारणा

9.1.2 क्रम (Order)
9.1.2.1 उच्चतम अवकलज की पहचान
9.1.2.2 क्रम निर्धारण की विधि
9.1.2.3 क्रम आधारित वर्गीकरण
9.1.2.4 प्रथम, द्वितीय एवं उच्च क्रम समीकरण

9.1.3 घात (Degree)
9.1.3.1 घात की परिभाषा
9.1.3.2 अवकलज की घात निकालना
9.1.3.3 घात निर्धारित करने की शर्तें
9.1.3.4 घात और क्रम में अंतर

9.2 अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equations)

9.2.1 सामान्य प्रक्रिया
9.2.1.1 स्थिरांकों का उन्मूलन
9.2.1.2 सामान्य फलन से निर्माण
9.2.1.3 परिवार (Family of Curves) से निर्माण

9.2.2 भौतिक आधार
9.2.2.1 गति आधारित समस्याएँ
9.2.2.2 वृद्धि एवं क्षय (Growth and Decay)
9.2.2.3 न्यूटन का शीतलन नियम
9.2.2.4 रेडियोधर्मी क्षय मॉडल
9.2.2.5 जनसंख्या वृद्धि मॉडल

9.2.3 ज्यामितीय आधार
9.2.3.1 वक्रों के परिवार से निर्माण
9.2.3.2 स्पर्शरेखा (Tangent) आधारित निर्माण
9.2.3.3 अभिलंब (Normal) आधारित निर्माण
9.2.3.4 ज्यामितीय शर्तों से समीकरण निर्माण

9.3 सामान्य हल (General Solution)

9.3.1 अवधारणा
9.3.1.1 सामान्य हल की परिभाषा
9.3.1.2 स्वतंत्र स्थिरांक की भूमिका
9.3.1.3 समाधान का सामान्य स्वरूप
9.3.1.4 सामान्य हल की ज्यामितीय व्याख्या

9.3.2 प्राप्ति की विधियाँ
9.3.2.1 प्रतिलोम विधि
9.3.2.2 समाकलन विधि
9.3.2.3 चर पृथक्करण आधारित प्राप्ति

9.4 विशेष हल (Particular Solution)

9.4.1 प्रारंभिक एवं सीमा शर्तें
9.4.1.1 प्रारंभिक मान समस्या (Initial Value Problem)
9.4.1.2 सीमा मान समस्या (Boundary Value Problem)
9.4.1.3 शर्तों का उपयोग

9.4.2 स्थिरांक निर्धारण
9.4.2.1 स्थिरांक का मान निकालना
9.4.2.2 अद्वितीय हल प्राप्त करना
9.4.2.3 समाधान की सत्यता जाँच

9.5 चर पृथक्करण विधि (Variable Separation Method)

9.5.1 मूल अवधारणा
9.5.1.1 चर अलग करना
9.5.1.2 dy/dx का पृथक्करण
9.5.1.3 अलग किए जाने योग्य समीकरण

9.5.2 समाधान प्रक्रिया
9.5.2.1 दोनों पक्षों का समाकलन
9.5.2.2 स्थिरांक जोड़ना
9.5.2.3 सामान्य हल प्राप्त करना

9.5.3 अनुप्रयोग
9.5.3.1 वृद्धि समस्याएँ
9.5.3.2 क्षय समस्याएँ
9.5.3.3 गति समस्याएँ
9.5.3.4 मिश्रण समस्याएँ (Mixture Problems)

9.6 समरूप अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations)

9.6.1 पहचान
9.6.1.1 f(y/x) रूप की पहचान
9.6.1.2 समान घात वाले पद
9.6.1.3 समरूपता की शर्त

9.6.2 परिवर्तन विधि
9.6.2.1 y = vx प्रतिस्थापन
9.6.2.2 dy/dx का रूपांतरण
9.6.2.3 v के रूप में समीकरण

9.6.3 समाधान
9.6.3.1 चर पृथक्करण विधि
9.6.3.2 समाकलन प्रक्रिया
9.6.3.3 अंतिम सामान्य हल

9.7 प्रथम क्रम रैखिक अवकल समीकरण (First Order Linear Differential Equations)

9.7.1 मानक रूप
9.7.1.1 dy/dx + Py = Q
9.7.1.2 P और Q का निर्धारण
9.7.1.3 रैखिकता की पहचान

9.7.2 समाकलन गुणक
9.7.2.1 समाकलन गुणक का सूत्र
9.7.2.2 IF = e^(∫P dx)
9.7.2.3 IF की गणना विधि
9.7.2.4 IF का उपयोग

9.7.3 समाधान
9.7.3.1 सामान्य हल
9.7.3.2 विशेष हल
9.7.3.3 चरणबद्ध समाधान प्रक्रिया

9.8 पूर्ण अवकल समीकरण (Exact Differential Equations)

9.8.1 पहचान
9.8.1.1 Mdx + Ndy = 0
9.8.1.2 ∂M/∂y = ∂N/∂x शर्त
9.8.1.3 पूर्णता परीक्षण

9.8.2 संभावित फलन
9.8.2.1 φ(x, y) की अवधारणा
9.8.2.2 φ प्राप्त करने की विधि
9.8.2.3 आंशिक समाकलन प्रक्रिया

9.8.3 समाधान
9.8.3.1 सामान्य हल
9.8.3.2 स्थिरांक निर्धारण
9.8.3.3 अंतिम उत्तर सत्यापन

9.9 बर्नौली अवकल समीकरण (Bernoulli Differential Equation)

9.9.1 मानक रूप
9.9.1.1 y’ + Py = Qyⁿ
9.9.1.2 n का महत्व
9.9.1.3 रैखिक न होने की स्थिति

9.9.2 परिवर्तन विधि
9.9.2.1 u = y^(1−n)
9.9.2.2 समीकरण का रूपांतरण
9.9.2.3 रैखिक रूप प्राप्त करना

9.9.3 समाधान प्रक्रिया
9.9.3.1 समाकलन गुणक विधि
9.9.3.2 सामान्य हल
9.9.3.3 विशेष हल

9.10 रूपांतरण आधारित अवकल समीकरण

9.10.1 चर परिवर्तन
9.10.1.1 उपस्थापन विधियाँ
9.10.1.2 जटिल समीकरण सरलीकरण
9.10.1.3 विशेष substitution तकनीक

9.10.2 रूपांतरण प्रकार
9.10.2.1 समरूप में रूपांतरण
9.10.2.2 पृथक्करण योग्य रूप में परिवर्तन
9.10.2.3 रैखिक रूप में परिवर्तन

9.11 द्वितीय क्रम अवकल समीकरण (Second Order Differential Equations)

9.11.1 मूल अवधारणा
9.11.1.1 द्वितीय क्रम समीकरण
9.11.1.2 रैखिक समीकरण
9.11.1.3 स्थिर गुणांक की भूमिका

9.11.2 समांगी समीकरण
9.11.2.1 चरित्र समीकरण (Auxiliary Equation)
9.11.2.2 मूलों के प्रकार (Real, Equal, Complex)
9.11.2.3 पूरक फलन (CF)
9.11.2.4 सामान्य हल

9.11.3 असमांगी समीकरण
9.11.3.1 विशेष हल (PI)
9.11.3.2 ऑपरेटर विधि
9.11.3.3 पूर्ण हल (CF + PI)

9.12 स्थिर गुणांक वाले द्वितीय क्रम समीकरण

9.12.1 मानक रूप
9.12.1.1 aD² + bD + c = 0
9.12.1.2 D ऑपरेटर की अवधारणा

9.12.2 समाधान
9.12.2.1 सहायक समीकरण
9.12.2.2 मूलों का उपयोग
9.12.2.3 पूर्ण हल

9.13 पैरामीटर परिवर्तन विधि (Variation of Parameters)

9.13.1 अवधारणा
9.13.1.1 विधि की परिभाषा
9.13.1.2 u₁, u₂ का परिचय

9.13.2 समाधान प्रक्रिया
9.13.2.1 u₁ और u₂ निकालना
9.13.2.2 विशेष हल प्राप्त करना
9.13.2.3 पूर्ण हल बनाना

9.14 अनुप्रयोग (Applications of Differential Equations)

9.14.1 भौतिक अनुप्रयोग
9.14.1.1 न्यूटन का शीतलन नियम
9.14.1.2 रेडियोधर्मी क्षय
9.14.1.3 गति के नियम
9.14.1.4 मुक्त पतन (Free Fall)

9.14.2 गणितीय अनुप्रयोग
9.14.2.1 ऑर्थोगोनल ट्राजेक्टरी
9.14.2.2 वक्र परिवार
9.14.2.3 ज्यामितीय मॉडलिंग

9.14.3 इंजीनियरिंग अनुप्रयोग
9.14.3.1 विद्युत परिपथ (R-L, R-C, L-C)
9.14.3.2 कंपन (Oscillations)
9.14.3.3 नियंत्रण प्रणाली (Control Systems)