Class 9 Math Ch-8 वृत्त

अध्याय 9: वृत्त (Circles)

वृत्त ज्यामिति (Circle Geometry) का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें वृत्त के विभिन्न भागों, उनके गुणों तथा उनसे संबंधित प्रमेयों का अध्ययन किया जाता है। बोर्ड परीक्षाओं में इस अध्याय से परिभाषाएँ, प्रमेय, प्रमाण और संख्यात्मक प्रश्न पूछे जाते हैं।

वृत्त की परिभाषा (Definition of Circle)

वृत्त वह समतल आकृति है जिसके सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। उस निश्चित बिंदु को केंद्र (Centre) कहते हैं।

उदाहरण: यदि O केंद्र है और OA = OB = OC, तो A, B, C बिंदुओं से बना पथ एक वृत्त होगा।

वृत्त के मुख्य भाग (Parts of a Circle)

केंद्र (Centre)

वृत्त के बीच का निश्चित बिंदु केंद्र कहलाता है।

त्रिज्या (Radius)

केंद्र से वृत्त की परिधि तक की दूरी त्रिज्या कहलाती है।

प्रतीक: r

व्यास (Diameter)

केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे बड़ी जीवा व्यास कहलाती है।

सूत्र: व्यास = 2 × त्रिज्या

परिधि (Circumference)

वृत्त की बाहरी सीमा परिधि कहलाती है।

आंतरिक एवं बाह्य भाग

वृत्त के अंदर का क्षेत्र आंतरिक भाग तथा बाहर का क्षेत्र बाह्य भाग कहलाता है।

जीवा (Chord)

वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है।

जीवा के गुण

• व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
• समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
• केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।
• बड़ी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।

चाप (Arc)

वृत्त की परिधि का कोई भाग चाप कहलाता है।

चाप के प्रकार

लघु चाप (Minor Arc)

180° से कम कोण वाला चाप।

दीर्घ चाप (Major Arc)

180° से अधिक कोण वाला चाप।

अर्धचाप (Semicircular Arc)

180° का चाप।

अर्धवृत्त (Semicircle)

जब व्यास वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, तो प्रत्येक भाग अर्धवृत्त कहलाता है।

अर्धवृत्त के गुण

• अर्धवृत्त का कोण 90° होता है।
• एक वृत्त में दो अर्धवृत्त होते हैं।
• अर्धवृत्त का चाप 180° का होता है।

केंद्र से जीवा पर लम्ब

प्रमेय

केंद्र से किसी जीवा पर डाला गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।

अर्थात यदि O केंद्र है और OM जीवा AB पर लंब है, तो

OM ⊥ AB ⇒ AM = MB

विपरीत प्रमेय

यदि कोई रेखा केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करती है, तो वह जीवा पर लंब होगी।

समान जीवाओं के गुण

प्रमेय 1

समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।

प्रमेय 2

समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

प्रमेय 3

केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।

प्रमेय 4

असमान जीवाओं में बड़ी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।

वृत्त में कोण संबंधी गुण (Angles in a Circle)

केंद्र पर बना कोण

केंद्र पर बना कोण उसी चाप पर बने परिधीय कोण का दोगुना होता है।

$\angle AOB=2\angle ACB$

एक ही चाप पर बने कोण

एक ही चाप पर बने सभी कोण बराबर होते हैं।

अर्धवृत्त में कोण

अर्धवृत्त में बना कोण सदैव 90° होता है।

चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral)

जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर स्थित हों उसे चक्रीय चतुर्भुज कहते हैं।

गुण

चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ∠A+∠C=180∘

स्पर्श रेखा (Tangent)

वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करे, स्पर्श रेखा कहलाती है।

स्पर्श बिंदु को Point of Contact कहते हैं।

स्पर्श रेखा के गुण

• स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।
• स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।

$OT\perp PT$

• किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।

PA = PB

छेदक रेखा (Secant)

जो रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है उसे छेदक रेखा कहते हैं।

स्पर्श रेखा और छेदक में अंतर

• स्पर्श रेखा केवल एक बिंदु पर मिलती है।
• छेदक रेखा दो बिंदुओं पर वृत्त को काटती है।

संकेंद्रित वृत्त (Concentric Circles)

जिन वृत्तों का केंद्र समान हो लेकिन त्रिज्या अलग-अलग हो, उन्हें संकेंद्रित वृत्त कहते हैं।

वृत्तखंड (Segment)

जीवा तथा उसके संगत चाप से घिरा क्षेत्र वृत्तखंड कहलाता है।

प्रकार

• लघु वृत्तखंड
• दीर्घ वृत्तखंड

त्रिज्यखंड (Sector)

दो त्रिज्याओं तथा उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है।

प्रकार

• लघु त्रिज्यखंड
• दीर्घ त्रिज्यखंड

महत्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)

1. केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
2. समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
3. समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
4. केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
5. अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
6. चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।
7. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
8. बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण बिंदु

• वृत्त, त्रिज्या, व्यास, जीवा और चाप की परिभाषाएँ।
• केंद्र से जीवा पर लंब वाली प्रमेय।
• समान जीवाओं के गुण।
• केंद्रीय कोण एवं परिधीय कोण।
• अर्धवृत्त का कोण 90°।
• चक्रीय चतुर्भुज के गुण।
• स्पर्श रेखा की विशेषताएँ।
• बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं का गुण।
• वृत्तखंड एवं त्रिज्यखंड का अंतर।
• छेदक और स्पर्श रेखा का अंतर।

इस प्रकार वृत्त अध्याय में परिभाषाएँ, कोणों के गुण, जीवाओं के गुण, स्पर्श रेखा, चक्रीय चतुर्भुज, वृत्तखंड, त्रिज्यखंड, छेदक रेखा, संकेंद्रित वृत्त तथा महत्वपूर्ण प्रमेयों का सम्पूर्ण अध्ययन किया जाता है।