Class 12 Math Ch-10 सदिश MCQs Exam 2027

Vector Algebra: Topic-Wise Objective Questions (1-151)

Topic 1: Modulus and Magnitude of Vectors

1. $|2\vec{i} – 3\vec{j} + \vec{k}| =$ [BSEB, 2017 A]

   (A) 14

   (B) $\sqrt{14}$

   (C) $\sqrt{3}$

   (D) 2

2. $|-\vec{i} + 2\vec{j} – 3\vec{k}| =$ [BSEB, 2016 A]

   (A) $\sqrt{15}$

   (B) $\sqrt{3}$

   (C) 2

   (D) $\sqrt{14}$

3. सदिश $2\vec{i} – 7\vec{j} – 3\vec{k}$ का मापांक है : [BSEB, 2015 A]

   (A) $\sqrt{61}$

   (B) $\sqrt{62}$

   (C) $\sqrt{63}$

   (D) $\sqrt{52}$

4. सदिश $7\vec{i} – 2\vec{j} + \vec{k}$ का मापांक है: [BSEB, 2015 A, 2020 A]

   (A) $\sqrt{10}$

   (B) $\sqrt{55}$

   (C) $3\sqrt{6}$

   (D) 6

5. $|x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}| =$ [BSEB, 2021 A]

   (A) $x^2 + y^2 + z^2$

   (B) $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

   (C) $\sqrt{x + y + z}$

   (D) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

6. $|3\vec{i} – 4\vec{j}|^2 =$ [BSEB, 2023 A]

   (A) 1

   (B) 25

   (C) 7

   (D) 49

7. $|3\vec{i} – 4\vec{j} – 5\vec{k}| =$ [BSEB, 2023 A]

   (A) $5\sqrt{2}$

   (B) 12

   (C) 2

   (D) 9

8. $|2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}| =$ [BSEB, 2022 A]

   (A) 3

   (B) 5

   (C) 2

   (D) 1

9. $|2\vec{i} – 3\vec{j} | =$ [BSEB, 2024 A]

   (A) $\sqrt{13}$

   (B) 13

   (C) 5

   (D) $\sqrt{5}$

10. $|\vec{i} – 2\vec{j} + 2\vec{k}| =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 3

    (B) 6

    (C) 7

    (D) 5

11. सदिश $19\vec{i} + 5\vec{j} – 6\vec{k}$ का मापांक है: [BSEB, 2019 A]

    (A) $\sqrt{322}$

    (B) $\sqrt{420}$

    (C) $\sqrt{421}$

    (D) $\sqrt{422}$

12. $|\vec{i} – \vec{j} – \vec{k}| =$ [BSEB, 2024 A]

    (A) $\sqrt{3}$

    (B) 3

    (C) $\sqrt{2}$

    (D) 2

13. $|\vec{j}| =$ [BSEB, 2019 C]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) 2

    (D) 3

14. If $\vec{a} = 2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$, then $|\vec{a}| =$ [BSEB, 2026]

    (A) 3

    (B) 5

    (C) 9

    (D) $\sqrt{5}$

15. If $\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$, then $|\vec{a}| =$ [BSEB, 2026]

    (A) 3

    (B) 9

    (C) $\sqrt{5}$

    (D) 5

16. $|\vec{i} – 2\vec{j} + 2\vec{k}| = $ [BSEB, 2026]

    (A) 3

    (B) 1

    (C) $\sqrt{3}$

    (D) 5

Topic 2: Position Vectors & Points

17. बिन्दु (1, 0, 2) का स्थिति सदिश है: [BSEB, 2015 A, 2020 A]

    (A) $\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$

    (B) $\vec{i} + 2\vec{j}$

    (C) $\vec{i} + 3\vec{k}$

    (D) $\vec{i} + 2\vec{k}$

18. बिन्दु (4, 5, 6) का स्थिति सदिश है : [BSEB, 2017 A]

    (A) $4\vec{i} + 5\vec{j} + 6\vec{k}$

    (B) $4\vec{i} – 5\vec{j} – 6\vec{k}$

    (C) $2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

    (D) $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

19. बिन्दु (x, y, z) का स्थिति सदिश है : [BSEB, 2016 A, 2019 A]

    (A) $x\vec{i} – y\vec{j} – z\vec{k}$

    (B) $x\vec{i} + y\vec{j} – z\vec{k}$

    (C) $x\vec{i} – y\vec{j} + z\vec{k}$

    (D) $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

20. यदि मूल बिन्दु $O$ हो तथा $\vec{OP} = 2\vec{i} + 3\vec{j} – 4\vec{k}$ तथा $\vec{OQ} = 5\vec{i} + 4\vec{j} – 3\vec{k}$ हों तो $\vec{PQ}$ बराबर है : [BSEB, 2015 A]

    (A) $7\vec{i} + 7\vec{j} – 7\vec{k}$

    (B) $3\vec{i} + \vec{j} – \vec{k}$

    (C) $-7\vec{i} + 7\vec{j} + 7\vec{k}$

    (D) $3\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

21. बिन्दुओं $P(1, -2, 3)$ and $Q(-1, 2, 1)$ के मध्य-बिन्दु का स्थिति सदिश है : [BSEB, 2021 A]

    (A) $2\vec{i} – 4\vec{j} + 2\vec{k}$

    (B) $\vec{j} + 2\vec{k}$

    (C) $2\vec{k}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

22. यदि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $(1, 2, 3)$ और $(-3, -4, 0)$ हों, तो $\vec{AB}$ होगा : [BSEB, 2014 A]

    (A) $4\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k}$

    (B) $-4\vec{i} – 6\vec{j} – 3\vec{k}$

    (C) $-3\vec{i} – 4\vec{j}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

23. Distance of point $(x, y, z)$ from origin is: [BSEB, 2026]

    (A) $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

    (B) $x+y+z$

    (C) $x^2+y^2+z^2$

    (D) $\sqrt{x+y+z}$

Topic 3: Unit Vectors & Direction Cosines

24. सदिश $3\vec{i} – 4\vec{j} + 12\vec{k}$ की दिक् कोज्याएँ हैं : [BSEB, 2018 A]

    (A) $\frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13}$

    (B) $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$

    (C) $\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{4}{\sqrt{13}}, \frac{12}{\sqrt{13}}$

    (D) $\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{-4}{\sqrt{13}}, \frac{12}{\sqrt{13}}$

25. सदिश $3\vec{i} – 9\vec{j}$ की दिशा में इकाई सदिश है: [BSEB, 2023 A]

    (A) $\frac{3\vec{i} – 9\vec{j}}{-6}$

    (B) $\frac{3\vec{i} – 9\vec{j}}{6}$

    (C) $\frac{3\vec{i} – 9\vec{j}}{\sqrt{90}}$

    (D) $\frac{3\vec{i} – 9\vec{j}}{\sqrt{70}}$

26. यदि $|\vec{a}| = 2$ और $\lambda \vec{a}$ एक इकाई सदिश हो, तो $\lambda$ का मान है: [BSEB, 2021 A]

    (A) 1

    (B) $1/2$

    (C) 2

    (D) इनमें से कोई नहीं

27. सदिश $2\vec{i} – 3\vec{j} + 6\vec{k}$ की दिशा में इकाई सदिश है : [BSEB, 2019 A, 2022 A]

    (A) $\frac{2\vec{i} – 3\vec{j} + 6\vec{k}}{7}$

    (B) $\frac{2\vec{i} – 3\vec{j} + 6\vec{k}}{49}$

    (C) $\frac{\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}}{7}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

28. यदि $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ तो $\vec{a}$ की दिशा में संगत इकाई सदिश $\hat{a} =$ [BSEB, 2018 A, 2024 A]

    (A) $\frac{\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{6}}$

    (B) $\frac{\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}}{\sqrt{6}}$

    (C) $\frac{\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}}{6}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

29. किसी तल पर लंब इकाई सदिश की संख्या है: [BSEB, 2023 A]

    (A) 1

    (B) 2

    (C) 3

    (D) अनंत

30. Direction cosines of the z-axis are: [BSEB, 2026]

    (A) (0, 0, 1)

    (B) (1, 0, 0)

    (C) (0, 1, 0)

    (D) (1, 1, 1)

31. Which of the following is a unit vector? [BSEB, 2026]

    (A) $\frac{\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}}{\sqrt{3}}$

    (B) $\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$

    (C) $\frac{\vec{i}+\vec{j}}{2}$

    (D) $\vec{k}$

32. The unit vector in the direction of vector $\vec{a}$ is: [BSEB, 2026]

    (A) $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

    (B) $\vec{a} \cdot |\vec{a}|$

    (C) $|\vec{a}| \vec{a}$

    (D) $\frac{|\vec{a}|}{\vec{a}}$

Topic 4: Dot Product (Scalar Product)

33. $\vec{i} \cdot \vec{i} =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{j}$

    (D) $\vec{k}$

34. $\vec{k} \cdot \vec{k} =$ [BSEB, 2016 A, 2017 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) $\vec{j}$

35. $\vec{j} \cdot \vec{j} =$ [BSEB, 2019 C, 2024 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) $\vec{k}$

36. $\vec{a} \cdot \vec{a} =$ [BSEB, 2015 A, 2021 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $|\vec{a}|^2$

    (D) $|\vec{a}|$

37. $\vec{i} \cdot \vec{j} =$ [BSEB, 2016 C, 2019 A]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $\vec{k}$

    (D) $-\vec{k}$

38. $\vec{k} \cdot \vec{i} =$ [BSEB, 2017 C]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{k}$

    (D) $\vec{i}$

39. $\vec{k} \cdot \vec{j} =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

40. $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2017 A]

    (A) $-\vec{b} \cdot \vec{a}$

    (B) $\vec{b} \cdot \vec{a}$

    (C) 1

    (D) $-1$

41. $(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) \cdot (2\vec{i} + 3\vec{j}) =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) 5

    (B) 6

    (C) 1

    (D) 11

42. $(11\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) \cdot (\vec{i} + \vec{j} + 11\vec{k}) =$ [BSEB, 2025 A]

    (A) 22

    (B) 23

    (C) 24

    (D) 20

43. $(\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}) \cdot (2\vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) =$ [BSEB, 2024 A]

    (A) 1

    (B) 2

    (C) 3

    (D) 4

44. $(2\vec{i} – 3\vec{j} + 5\vec{k}) \cdot (2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}) =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) 8

    (B) 2

    (C) 4

    (D) 20

45. $(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{k} =$ [BSEB, 2024 A]

    (A) $x$

    (B) $y$

    (C) $z$

    (D) $x+y+z$

46. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b}) =$ [BSEB, 2016 C]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $a^2 + b^2$

    (D) $a^2 – b^2$

47. $(\vec{i} – 2\vec{j} + 5\vec{k}) \cdot (-2\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}) =$ [BSEB, 2022 A, 2025 A]

    (A) 0

    (B) 2

    (C) $-4$

    (D) 6

48. $3\vec{k} \cdot (13\vec{i} – 7\vec{k}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 39

    (B) 0

    (C) $-21$

    (D) 18

49. $(3\vec{i} + 4\vec{j} – 5\vec{k}) \cdot \vec{i} =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) 7

    (B) 3

    (C) 2

    (D) 0

50. $(\vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) \cdot (7\vec{i} – 8\vec{j} + 9\vec{k}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 22

    (B) 23

    (C) 24

    (D) 25

51. $2\vec{i} \cdot 3\vec{j} =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) $6\vec{k}$

    (B) 6

    (C) 0

    (D) 1

52. $\vec{i} \cdot (\vec{i} + \vec{j}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) 2

    (D) $-1$

53. $3\vec{j} \cdot 2\vec{k} =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) 6

    (B) 1

    (C) $6\vec{i}$

    (D) 0

54. $(2\vec{i} – 3\vec{j}) \cdot (\vec{i} + \vec{k}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 2

    (B) $-1$

    (C) 3

    (D) 0

55. $(\vec{j} – 2\vec{i}) \cdot (\vec{k} + 3\vec{i} – \vec{j}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 0

    (B) $-6$

    (C) $-7$

    (D) 8

56. यदि $\vec{a} = \vec{i} – 2\vec{j} – 3\vec{k}, \vec{b} = \vec{i} + 3\vec{j} – 2\vec{k}$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2017 C]

    (A) 1

    (B) 20

    (C) 30

    (D) $-30$

57. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ [BSEB, 2019 C]

    (A) $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

    (B) $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

    (C) $\vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{a} \cdot \vec{c}$

    (D) इनमें से कोई नहीं

58. $\vec{n}^2 =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $-1$

    (D) $\vec{n}$

59. $\hat{i} \cdot \hat{i} =$ [BSEB, 2026]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\hat{k}$

    (D) $-\hat{j}$

60. $(\vec{i} – 2\vec{j} + 5\vec{k}) \cdot (-2\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}) =$ [BSEB, 2026]

    (A) 0

    (B) 20

    (C) $-20$

    (D) 10

61. $\vec{a} \cdot \vec{a} = $ [BSEB, 2026]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $|\vec{a}|^2$

    (D) $|a|$

62. $(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = $ [BSEB, 2026]

    (A) $x$

    (B) $y$

    (C) $z$

    (D) $x^2 + y^2 + z^2$

63. $\vec{j} \cdot \vec{k} = $ [BSEB, 2026]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $\vec{i}$

    (D) $-\vec{i}$

64. $2\vec{i} \cdot (-3\vec{k}) = $ [BSEB, 2026]

    (A) 6

    (B) -6

    (C) 0

    (D) $-6\vec{j}$

65. The scalar product of $5\hat{i} + \hat{j} – 3\hat{k}$ and $3\hat{i} – 4\hat{j} + 7\hat{k}$ is: [BSEB, 2026]

    (A) 10

    (B) -10

    (C) 15

    (D) -5

Topic 5: Perpendicular & Parallel Vectors

66. यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ हो, तो : [BSEB, 2015 A]

    (A) $\vec{a} \perp \vec{b}$

    (B) $\vec{a} || \vec{b}$

    (C) $\vec{a} + \vec{b} = 0$

    (D) $\vec{a} – \vec{b} = \vec{0}$

67. यदि $\vec{a} \perp \vec{b}$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $-1$

    (D) इनमें से कोई नहीं

68. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लम्ब हों तो : [BSEB, 2016 A]

    (A) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

    (B) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

    (C) $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$

    (D) $\vec{a} – \vec{b} = \vec{0}$

69. $\vec{a} || \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} =$ [BSEB, 2016 C]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $-1$

    (D) 2

70. यदि $2\vec{i} + \vec{j} – 2\vec{k}$ और $\vec{i} + \lambda \vec{j} – 3\vec{k}$ परस्पर लंब हों तो $\lambda =$ [BSEB, 2024 A]

    (A) $-3$

    (B) $-6$

    (C) $-9$

    (D) $-1$

71. यदि $x\vec{i} – 3\vec{j} + 5\vec{k}$ एवं $-x\vec{i} + x\vec{j} + 2\vec{k}$ परस्पर लंब हों तो $x =$ [BSEB, 2018 A]

    (A) $-2, 5$

    (B) $2, 5$

    (C) $-2, -5$

    (D) $2, -5$

72. दो सदिश $2\vec{i} + 5\vec{j} + \vec{k}$ और $3\vec{i} – 2\vec{j} + 4\vec{k}$ हैं: [BSEB, 2017 C]

    (A) समांतर

    (B) लम्ब

    (C) बराबर

    (D) इनमें से कोई नहीं

73. If $(3\vec{i} + \lambda \vec{j} – 2\vec{k})$ and $(\vec{i} + 2\vec{j} – 3\vec{k})$ are perpendicular, then $\lambda = $ [BSEB, 2026]

    (A) -3

    (B) -6

    (C) 4

    (D) -4.5

74. $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow $ [BSEB, 2026]

    (A) $\vec{a} \times \vec{b} = 0$

    (B) $\vec{a} \perp \vec{b}$

    (C) $\vec{a} + \vec{b} = 0$

    (D) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

75. If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular, then $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2026]

    (A) 1

    (B) -1

    (C) 0

    (D) $ab$

Topic 6: Cross Product (Vector Product)

76. $\vec{k} \times \vec{k} =$ [BSEB, 2016 C, 2019 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) $k^2$

77. $\vec{j} \times \vec{j} =$ [BSEB, 2019 C, 2020 A]

    (A) $\vec{0}$

    (B) 1

    (C) $\vec{k}$

    (D) $-\vec{k}$

78. $\vec{a} \times \vec{b} =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) $\vec{b} \times \vec{a}$

    (B) $-\vec{b} \times \vec{a}$

    (C) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

    (D) $\vec{b} \cdot \vec{a}$

79. $\vec{i} \times \vec{j} =$ [BSEB, 2020 A]

    (A) $\vec{0}$

    (B) 1

    (C) $-\vec{k}$

    (D) $\vec{k}$

80. $\vec{j} \times \vec{i} =$ [BSEB, 2017 C, 2023 A]

    (A) $\vec{k}$

    (B) $-\vec{k}$

    (C) 1

    (D) 0

81. $\vec{k} \times \vec{j} =$ [BSEB, 2015 A, 2024 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) $-\vec{i}$

82. $\vec{j} \times \vec{k} =$ [BSEB, 2017 A]

    (A) $\vec{i}$

    (B) $-\vec{i}$

    (C) $\vec{0}$

    (D) 1

83. $\vec{i} \times \vec{k} =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) 1

    (B) $\vec{0}$

    (C) $\vec{j}$

    (D) $-\vec{j}$

84. $(\vec{a} – \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b})$ के बराबर है :

    (A) $\vec{a} \times \vec{b}$

    (B) $2\vec{a} \times \vec{b}$

    (C) $\vec{a}^2 – \vec{b}^2$

    (D) $2\vec{b} \times \vec{b}$

85. $\vec{a} \times \vec{a} =$ [BSEB, 2016 A, 2017 A]

    (A) 1

    (B) $\vec{0}$

    (C) $a^2$

    (D) $a$

86. $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ [BSEB, 2017 A]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $|\vec{a}|^2 \vec{b}$

    (D) $\vec{a}^2 \vec{b}$

87. $(3\vec{k} – 7\vec{i}) \times 2\vec{k} =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) $-14\vec{j}$

    (B) $14\vec{j}$

    (C) $11\vec{i} – 2\vec{k}$

    (D) $2\vec{k} – 11\vec{i}$

88. $5\vec{j} \times 4\vec{i} =$ [BSEB, 2022 A]

    (A) 20

    (B) $-20$

    (C) $20\vec{k}$

    (D) $-20\vec{k}$

89. $\vec{k} \times (\vec{i} + \vec{j}) =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) $\vec{i} – \vec{j}$

    (B) $\vec{j} – \vec{i}$

    (C) $\vec{i} + \vec{j}$

    (D) $\vec{0}$

90. $|(\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{k}| =$ [BSEB, 2023 A]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $-1$

    (D) 2

91. $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b}) =$ [BSEB, 2024 A]

    (A) 1

    (B) 0

    (C) $-1$

    (D) 3

92. यदि $\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$ और $\vec{b} = 3\vec{i} + 5\vec{j} – 2\vec{k}$ तो $|\vec{a} \times \vec{b}| =$ [BSEB, 2021 A]

    (A) $\sqrt{507}$

    (B) $\sqrt{407}$

    (C) $\sqrt{307}$

    (D) $\sqrt{607}$

93. $\hat{i} \times \hat{j} =$ [BSEB, 2026]

    (A) 0

    (B) 1

    (C) $\hat{k}$

    (D) $-\hat{k}$

94. $\vec{k} \times \vec{k} =$ [BSEB, 2026]

    (A) $\vec{0}$

    (B) 1

    (C) $\vec{i}$

    (D) $\vec{j}$

95. $\hat{k} \times \hat{i} =$ [BSEB, 2026]

    (A) $\hat{j}$

    (B) $-\hat{j}$

    (C) 0

    (D) 1

96. If $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ and $\vec{b} = \hat{i} – \hat{j}$, then $\vec{a} \times \vec{b} =$ [BSEB, 2026]

    (A) 0

    (B) $-2\hat{k}$

    (C) $2\hat{k}$

    (D) $2\hat{i}$

97. $\vec{k} \times \vec{j} = $ [BSEB, 2026]

    (A) $\vec{i}$

    (B) $-\vec{i}$

    (C) 1

    (D) 0

98. $\vec{j} \times \vec{k} = $ [BSEB, 2026]

    (A) $\vec{i}$

    (B) $\vec{k}$

    (C) $\vec{j}$

    (D) $-\vec{i}$

Topic 7: Scalar Triple Product $[ \vec{a} \vec{b} \vec{c} ]$

99. $(\vec{a} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2016 C, 2019 A]

    (A) 1

    (B) $-1$

    (C) 0

    (D) 2

100. $[\vec{j} \vec{k} \vec{i}] =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) 0

     (B) $-1$

     (C) 1

     (D) $\vec{j}$

101. $[\vec{k} \vec{i} \vec{j}] =$ [BSEB, 2020 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $-1$

     (D) $\vec{i}$

102. $\vec{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) =$ [BSEB, 2021 A, 2024 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $-1$

     (D) इनमें से कोई नहीं

103. $\vec{j} \cdot (\vec{k} \times \vec{i}) =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $-1$

     (D) $\vec{j}$

104. $[\vec{a} \vec{a} \vec{a}] =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) $-1$

     (D) $\vec{a}$

105. $[\vec{i} \vec{j} \vec{k}]$ का मान है: [BSEB, 2018 C]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) $-1$

     (D) इनमें से कोई नहीं

106. $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) $[\vec{z} \vec{y} \vec{x}]$

     (B) $[\vec{y} \vec{x} \vec{z}]$

     (C) $[\vec{x} \vec{z} \vec{y}]$

     (D) $[\vec{z} \vec{x} \vec{y}]$

107. $\vec{i} \cdot (\vec{j} \times \vec{k}) + \vec{j} \cdot (\vec{i} \times \vec{k}) + \vec{k} \cdot (\vec{i} \times \vec{j}) =$ [BSEB, 2017 C, 2020 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $\pi/4$

     (D) 3

108. $(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) \cdot [(\vec{i} – \vec{j} + \vec{k}) \times (\vec{i} + 2\vec{j} – \vec{k})] =$ [BSEB, 2022 A]

     (A) 0

     (B) 2

     (C) 4

     (D) 6

109. $(2\vec{i} + 3\vec{k}) \cdot [(\vec{i} + \vec{j} + 4\vec{k}) \times (3\vec{i} + \vec{j} + 7\vec{k})] =$ [BSEB, 2022 A]

     (A) 0

     (B) 112

     (C) 126

     (D) 192

110. $(\vec{k} \times \vec{j}) \cdot \vec{i} =$ [BSEB, 2025 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $-1$

     (D) $2\vec{i}$

111. $\vec{k} \times (\vec{i} \times \vec{j}) =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) $\vec{0}$

     (B) $\vec{i}$

     (C) $\vec{j}$

     (D) $\vec{k}$

112. $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ एकतलीय होंगे, यदि :

     (A) $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 0$

     (B) $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

     (C) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

     (D) $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$

113. $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = $ [BSEB, 2026]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) $|\vec{a}|$

     (D) -1

114. $\vec{j} \cdot (\vec{k} \times \vec{i}) =$ [BSEB, 2026]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) $-1$

     (D) $\vec{j}$

Topic 8: Projection of Vectors

115. 115. Projection of $(\vec{i} + 3\vec{j} + 7\vec{k})$ on $(2\vec{i} – 3\vec{j} + 6\vec{k})$ is: [BSEB, 2026]

          (A) 5

          (B) 25

          (C) 6

          (D) None

116. The projection of vector $\vec{a}$ on $\vec{b}$ is: [BSEB, 2026]

     (A) $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$

     (B) $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

     (C) $\vec{a} \times \vec{b}$

     (D) $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Topic 9: Angles between Vectors & Inequalities

117. यदि $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} – \vec{b}|$ तो : [BSEB, 2012 A, 2024 A]

     (A) $\vec{a} || \vec{b}$

     (B) $\vec{a} \perp \vec{b}$

     (C) $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

     (D) इनमें से कोई नहीं

118. यदि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$ तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण होगा : [BSEB, 2011 A]

     (A) 0

     (B) $\pi/2$

     (C) $\pi/4$

     (D) $\pi$

119. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हों और $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ हो, तो उनके बीच का कोण $\theta$ है : [BSEB, 2015 A]

     (A) $\pi/3$

     (B) $\pi/2$

     (C) $2\pi/3$

     (D) $\pi$

120. यदि $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1$ तथा $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ तो $|\vec{a} – \vec{b}|$ बराबर है : [BSEB, 2017 C, 2018 C]

     (A) 1

     (B) $\sqrt{3}$

     (C) 0

     (D) इनमें से कोई नहीं

121. सदिशों $2\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}$ एवं $2\vec{i} – \vec{j} – \vec{k}$ के बीच का कोण होगा :

     (A) $\pi/2$

     (B) $\pi/4$

     (C) $\pi/3$

     (D) 0

122. सदिशों $\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$ और $3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$ के बीच का कोण $(\cos \theta)$ है : [BSEB, 2011 A]

     (A) $5/7$

     (B) $3/7$

     (C) $2/7$

     (D) $1/7$

123. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो सदिश हों तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ को क्या कहते हैं? [BSEB, 2020 A]

     (A) Triangle Inequality

     (B) Cauchy-Schwarz Inequality

     (C) Pythagoras theorem

     (D) इनमें से कोई नहीं

124. $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \Rightarrow |\vec{a} – \vec{b}| = $ [BSEB, 2026]

     (A) $\sqrt{5}$

     (B) 5

     (C) 4

     (D) 2

125. If $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} – \vec{b}|$, then the angle between $\vec{a}$ and $\vec{b}$ is: [BSEB, 2026]

     (A) $0^\circ$

     (B) $45^\circ$

     (C) $90^\circ$

     (D) $60^\circ$

Topic 10: General Vector Identities & Addition

126. $\vec{i} \cdot \vec{i} + \vec{j} \cdot \vec{j} + \vec{k} \cdot \vec{k} =$ [BSEB, 2025 A]

     (A) 5

     (B) 4

     (C) 3

     (D) 2

127. यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हों जिससे कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान है :

     (A) 1

     (B) 3

     (C) $-3/2$

     (D) इनमें से कोई नहीं

128. $\vec{i} \times (\vec{i} \times \vec{j}) + \vec{j} \times (\vec{j} \times \vec{k}) + \vec{k} \times (\vec{k} \times \vec{i}) =$ [BSEB, 2018 A]

     (A) $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

     (B) 0

     (C) 1

     (D) $-(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k})$

129. $\vec{j} \times (\vec{k} \times \vec{i}) =$ [BSEB, 2024 A]

     (A) $\vec{0}$

     (B) $\vec{j}$

     (C) $\vec{i}$

     (D) $\vec{k}$

130. $\vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{k}) =$ [BSEB, 2021 A]

     (A) $\vec{i}$

     (B) $\vec{0}$

     (C) $\vec{j}$

     (D) $\vec{k}$

131. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ कोई दो सदिश हों, तो $(\vec{a} \times \vec{b})^2$ बराबर है :

     (A) $(\vec{a})^2(\vec{b})^2 – (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

     (B) $(\vec{a})^2(\vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

     (C) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

     (D) $a^2b^2$

132. $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) =$ [BSEB, 2018 C]

     (A) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} – (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

     (B) $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} – (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

     (C) $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} – (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$

     (D) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} – (\vec{a} \times \vec{b})\vec{b}$

133. यदि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0, |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 5$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ बराबर है — [BSEB, 2017 C, 2018 C]

     (A) 47

     (B) $-25$

     (C) 0

     (D) 25

134. If $\vec{a}$ is any vector, then $(\vec{a} \cdot \hat{i}) \hat{i} + $(\vec{a} \cdot \hat{j}) \hat{j} + (\vec{a} \cdot \hat{k}) \hat{k} =$ [BSEB, 2026]

     (A) $\vec{a}$

     (B) $2\vec{a}$

     (C) 0

     (D) $3\vec{a}$

Topic 11: Miscellaneous Practice (Serial 135-151)

135. $(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) \cdot (2\vec{i} + 3\vec{j}) =$ [BSEB, 2022 A]

     (A) 5

     (B) 6

     (C) 1

     (D) 11

136. $|\vec{i} – \vec{j} – \vec{k}| =$ [BSEB, 2024 A]

     (A) $\sqrt{3}$

     (B) 3

     (C) $\sqrt{2}$

     (D) 2

137. $(2\vec{i} – 3\vec{j} + 5\vec{k}) \cdot (2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}) =$ [BSEB, 2022 A]

     (A) 8

     (B) 2

     (C) 4

     (D) 20

138. $\vec{j} \cdot \vec{j} =$ [BSEB, 2019 C, 2024 A]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $\vec{i}$

     (D) $\vec{k}$

139. $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ [BSEB, 2026]

     (A) $\vec{b} \cdot \vec{a}$

     (B) $-\vec{b} \cdot \vec{a}$

     (C) 1

     (D) 0

140. $(\vec{i} – 2\vec{j} + 5\vec{k}) \cdot (-2\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}) =$ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 20

     (C) $-20$

     (D) 10

141. $\vec{i} \cdot \vec{i} =$ [BSEB, 2026]

     (A) 1

     (B) 0

     (C) $\vec{j}$

     (D) $\vec{k}$

142. $\vec{k} \times \vec{k} =$ [BSEB, 2026]

     (A) $\vec{0}$

     (B) 1

     (C) $\vec{i}$

     (D) $\vec{j}$

143. $\vec{i} \times \vec{j} =$ [BSEB, 2026]

     (A) $\vec{k}$

     (B) $-\vec{k}$

     (C) 0

     (D) 1

144. $\hat{i} \cdot \hat{i} =$ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $\hat{k}$

     (D) $-\hat{j}$

145. $\hat{i} \times \hat{j} =$ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $\hat{k}$

     (D) $-\hat{k}$

146. $\vec{a} \cdot \vec{a} =$ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $|\vec{a}|^2$

     (D) $\vec{a}^2$

147. $\vec{a} \cdot \vec{b} = $ [BSEB, 2026]

     (A) $\vec{b} \cdot \vec{a}$

     (B) $-\vec{b} \cdot \vec{a}$

     (C) 1

     (D) 0

148. $\vec{i} \cdot \vec{i} = $ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $\vec{j}$

     (D) $\vec{k}$

149. $\vec{a} \cdot \vec{a} = $ [BSEB, 2026]

     (A) 0

     (B) 1

     (C) $|\vec{a}|^2$

     (D) $|\vec{a}|$

150. $(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = $ [BSEB, 2026]

     (A) $x$

     (B) $y$

     (C) $z$

     (D) $x^2 + y^2 + z^2$

151. $|\vec{i} – 2\vec{j} + 2\vec{k}| = $ [BSEB, 2026]

     (A) 3

     (B) 1

     (C) $\sqrt{3}$

     (D) 5