Class 12 गणित Ch-11 त्रि-आयामी ज्यामिति

त्रि-आयामी ज्यामिति

11.1 दिशा कोसाइन
11.1.1 मूल अवधारणा
11.1.1.1 रेखा के अक्षों के साथ बने कोण
11.1.1.2 दिशा कोसाइन (l, m, n) की परिभाषा

11.1.2 गुणधर्म
11.1.2.1 l² + m² + n² = 1
11.1.2.2 दिशा परिवर्तन पर चिन्ह परिवर्तन
11.1.2.3 यूनिट वेक्टर से संबंध

11.1.3 दिशा कोसाइन का निर्धारण
11.1.3.1 दो बिंदुओं से
11.1.3.2 वेक्टर रूप से
11.1.3.3 दिशा अनुपात से

11.1.4 अनुप्रयोग
11.1.4.1 दो रेखाओं के बीच कोण
11.1.4.2 रेखा-समतल कोण
11.1.4.3 समानांतर व लंबवत परीक्षण

11.1.5 उन्नत प्रश्न
11.1.5.1 sign ambiguity problems
11.1.5.2 reverse direction cases

11.2 दिशा अनुपात

11.2.1 परिभाषा
11.2.1.1 (a, b, c) का अर्थ

11.2.2 संबंध
11.2.2.1 l = a/√(a²+b²+c²)
11.2.2.2 proportional relation

11.2.3 वेक्टर रूप
11.2.3.1 direction vector representation
11.2.3.2 scalar multiple invariance

11.2.4 निर्धारण
11.2.4.1 दो बिंदुओं से
11.2.4.2 position vector से

11.2.5 उन्नत उपयोग
11.2.5.1 angle computation
11.2.5.2 normalization concepts

11.3 रेखा का समीकरण

11.3.1 सदिश रूप
11.3.1.1 r = a + λb

11.3.2 पैरामीट्रिक रूप
11.3.2.1 x = x1 + λa
11.3.2.2 y, z समीकरण

11.3.3 सममित रूप
11.3.3.1 (x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c

11.3.4 दो बिंदुओं से रेखा
11.3.4.1 A और B से निर्माण

11.3.5 दो समतलों का प्रतिच्छेदन
11.3.5.1 प्रतिच्छेदन रेखा

11.3.6 रेखाओं की स्थिति
11.3.6.1 समानांतर
11.3.6.2 प्रतिच्छेदी
11.3.6.3 स्क्यू रेखाएँ

11.3.7 कोण
11.3.7.1 दो रेखाओं के बीच कोण
11.3.7.2 रेखा और समतल के बीच कोण

11.3.8 उन्नत अवधारणाएँ
11.3.8.1 सह-समतलीयता शर्त
11.3.8.2 न्यूनतम दूरी विधि
11.3.8.3 रेखा का लोकस

11.4 समतल का समीकरण

11.4.1 सामान्य रूप
11.4.1.1 ax + by + cz + d = 0

11.4.2 सदिश रूप
11.4.2.1 r · n = d

11.4.3 अवरोध रूप
11.4.3.1 x/a + y/b + z/c = 1

11.4.4 तीन बिंदुओं से समतल
11.4.4.1 determinant विधि
11.4.4.2 सह-रेखीयता परीक्षण

11.4.5 समतलों का परिवार
11.4.5.1 λP + μQ = 0

11.4.6 समतलों की स्थिति
11.4.6.1 समानांतर
11.4.6.2 लंबवत

11.4.7 कोण
11.4.7.1 दो समतलों के बीच कोण
11.4.7.2 अभिलम्ब वेक्टर विधि

11.4.8 दूरी
11.4.8.1 बिंदु से समतल दूरी
11.4.8.2 समानांतर समतलों की दूरी

11.4.9 उन्नत टॉपिक्स
11.4.9.1 लम्ब पाद
11.4.9.2 प्रतिबिंब
11.4.9.3 समतल का लोकस

11.5 कोण

11.5.1 रेखा-रेखा कोण
11.5.1.1 डॉट प्रोडक्ट विधि

11.5.2 रेखा-समतल कोण
11.5.2.1 प्रक्षेप विधि

11.5.3 समतल-समतल कोण
11.5.3.1 अभिलम्ब वेक्टर विधि

11.5.4 विशेष स्थितियाँ
11.5.4.1 लंबवत स्थिति
11.5.4.2 समानांतर स्थिति

11.5.5 उन्नत प्रश्न
11.5.5.1 कोण का लोकस
11.5.5.2 अधिकतम-न्यूनतम प्रश्न

11.6 दूरी सूत्र

11.6.1 दो बिंदुओं के बीच दूरी
11.6.1.1 3D दूरी सूत्र

11.6.2 बिंदु से रेखा दूरी
11.6.2.1 क्रॉस प्रोडक्ट विधि

11.6.3 बिंदु से समतल दूरी
11.6.3.1 |ax+by+cz+d|/√(a²+b²+c²)

11.6.4 समतल से समतल दूरी
11.6.4.1 अंतर विधि

11.6.5 स्क्यू रेखाओं की दूरी
11.6.5.1 स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट

11.6.6 उन्नत उपयोग
11.6.6.1 न्यूनतम दूरी
11.6.6.2 लोकस आधारित प्रश्न

11.7 स्क्यू रेखाएँ

11.7.1 परिभाषा
11.7.1.1 असमतलीय असंयोजित रेखाएँ

11.7.2 सह-समतलीयता परीक्षण
11.7.2.1 स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट = 0

11.7.3 न्यूनतम दूरी
11.7.3.1 सामान्य लम्ब विधि

11.7.4 विशेषताएँ
11.7.4.1 कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं

11.7.5 उन्नत उपयोग
11.7.5.1 इंजीनियरिंग अनुप्रयोग
11.7.5.2 स्थानिक ज्यामिति मॉडलिंग